基于遗忘假设的平滑公式

统计是通过大量样本来估计真实分布的过程，通常与统计相伴出现的一个词是“平滑”，即对统计结果打折扣的处理过程。平滑的思想来源于：如果样本空间非常大，那么统计的结果是稀疏的，这样由于各种偶然因素的存在，导致了小的统计结果不可靠，如频数为1的结果可能只是偶然的结果，其频率并不一定近似于$1/N$，频数为0的不一定就不会出现。这样我们就需要对统计结果进行平滑，使得结论更为可靠。

平滑的方法有很多，这里介绍一种基于遗忘假设的平滑公式。假设的任务为：我们要从一批语料中，统计每个字的字频。我们模仿人脑遗忘的过程，假设这个字出现一次，我们脑里的记忆量就增加1，但是如果一个周期内（先不管这个周期多大），这个字都没有出现，那么脑里的记忆量就变为原来的$\beta$比例。假设字是周期性出现的，那么记忆量$A_n$就满足如下递推公式
$$A_{n+1} = \beta A_n + 1$$
这个递推的通解是
$$A_n = \frac{1-\beta^n}{1-\beta}$$
其极限是
$$A = \frac{1}{1-\beta}$$
我们认为，这个极限才是我们真正的统计结果，即平滑后的结果。

如果一个语料的总字数为$N$，而某字出现的频数为$F$，假设字是均匀分布的，那么该字的出现周期就为$N/F$。而我们可以假设，遗忘的规律是按指数下降变化的（由艾宾浩斯曲线猜测，参考：https://zh.wikipedia.org/wiki/遗忘曲线，或者读者可以自己猜测其他形式的遗忘规律），那么就存在小于1的常数$\alpha$，使得
$$\beta = \alpha^{N/F}$$
这样，我们得到的数据平滑公式是
$$\hat{F} = \frac{1}{1-\alpha^{N/F}}$$

再仔细分析一下这个公式。不难想到，$\alpha$一定是非常接近于1的，不然一下子就遗忘光了。其次，我们应当期望，当$F$足够大的，平滑后的结果$\hat{F}$应该跟$F$接近才对，因为统计越充分结果越可信嘛。因此，我们假设当$F=N$时，$\hat{F}=F$，这时候应当乘上一个因子
$$\hat{F} = \frac{N(1-\alpha)}{1-\alpha^{N/F}}$$
这才是最终的平滑公式。

如果采用憨叔给出的结果，那么可以考虑使用
$$\alpha = 0.99999962...$$
不过，我们留意到，当$F\to 0$时，有
$$\hat{F} = \lim_{F\to 0}\frac{N(1-\alpha)}{1-\alpha^{N/F}}=N(1-\alpha)$$
这也意味着这个平滑公式给统计频数为0的字也分配了一个大于0的频数$N(1-\alpha)$。显然，固定$\alpha$在这里显得不大适合。倒不如反过来固定$N(1-\alpha)$？我们给没有出现过的字都赋予频数$\gamma$，那么解得
$$\alpha = 1 - \frac{\gamma}{N}$$
于是
$$\hat{F} = \frac{\gamma}{1-(1 - \gamma/N)^{N/F}}$$
这时候，我们从遗忘假设出发，得到了最终的、只带有一个具有清晰含义的参数的平滑公式。最后留意到当$N$足够大时，有
$$(1 - \gamma/N)^N \approx e^{-\gamma}$$
于是
$$\hat{F} \approx \frac{\gamma}{1-e^{-\gamma/F}}$$
这也不失为一个可用的平滑公式，最后我们来看它的泰勒展开
$$\hat{F} \approx \frac{\gamma}{1-e^{-\gamma/F}} = F + \frac{\gamma}{2} + \frac{\gamma^2}{12F^2}+\dots$$
如果只截取前两项，那么可以看到，事实上这种做法的效果，跟加1平滑法类似～这样，我们或许可以说，遗忘假设为加1平滑法提供了更充分的理论依据？

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