在网上查找到的，好像有三个不同的版本，全部摘录在此。

关于正17边形的尺规作图方法，请看：
http://spaces.ac.cn/article.asp?id=104

本文章只是证明它的存在（就是求出$cos({2\pi}/{17})$）。

$cos\frac{2\pi}{17}=$
$\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}$

版本一（来自数学研发论坛）：

设正17边形中心角为$\theta$,则$17\theta=2\pi$,即$16\theta=2\pi-\theta$
故$sin16\theta=-sin\theta$,而
$sin16\theta=2sin8\theta cos8\theta=2^2sin4\theta cos4\theta cos8\theta$
$=2^4 sin\theta cos\theta cos2\theta cos4\theta cos8\theta$
因$sin\theta!=0$,两边除之有:
$16cos\thetacos2\thetacos4\thetacos8\theta=-1$
又由$2cos\thetacos2\theta=cos\theta+cos3\theta$等,有
$2(cos\theta+cos2\theta+...+cos8\theta)=-1$
注意到 $cos15\theta=cos2\theta,cos12\theta=cos5\theta$,令
$x=cos\theta+cos2\theta+cos4\theta+cos8\theta$
$y=cos3\theta+cos5\theta+cos6\theta+cos7\theta$
有:
$x+y=-1/2$
又$xy=(cos\theta+cos2\theta+cos4\theta+cos8\theta)(cos3\theta+cos5\theta+cos6\theta+cos7\theta)$
$=1/2(cos2\theta+cos4\theta+cos4\theta+cos6\theta+...+cos\theta+cos15\theta)$
经计算知$xy=-1$
又有
$x=(-1+sqrt17)/4,y=(-1-sqrt17)/4$
其次再设:$x_1=cos\theta+cos4\theta,x_2=cos2\theta+cos8\theta$
$y_1=cos3\theta+cos5\theta,y_2=cos6\theta+cos7\theta$
故有$x_1+x_2=(-1+sqrt17)/4$
$y_1+y_2=(-1-sqrt17)/4$
解之可有: (大家自己解解吧~~~~)
最后,由$cos\theta+cos4\theta=x_1,cos\thetacos4\theta=(y_1)/2$
可求$cos\frac{2\pi}{17}$，它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出

版本二（不知道来自哪个论坛了）：

版本三（PDF文件，也来源于网络）：
正十七边形作图的思路和方法介绍.zip