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大家知道，1到4次的代数方程都有求根公式（尽管未必是最简单的方法），对于1次和2次方程的求根，大家可能滚瓜烂熟了。但是你了解三次方程的解法吗？

$ax^3+bx^2+cx+d=0(a!=0)$

网上有不少关于这方面的资料，但是却有着两个缺点：一是缺乏描述专业数学公式的相关程序（很多网站都是这样）；二是语言过于专业，不能大众化（如维基百科）。

要了解三次方程的求根公式，首先要知道，一般地，n次代数方程有n个根。而对于最基本的三次方程$x^3+p=0$，我们有：$x_1=-\root{3}{p}$，

同时根据韦达定理，我们有$x_1+x_2+x_3=0,x_1*x_2*x_3=-p$，我们已经知道$x_1=-\root{3}{p}$，现在就变成了关于$x_2,x_3$的二次方程组，可以求解($i^2=-1$，虚数单位)：
$x_2=1/2(-1+\sqrt{3}i)\root{3}{p}$ $x_3=1/2(-1-\sqrt{3}i)\root{3}{p}$

特别地，一般会将$1/2(-1+\sqrt{3}i)$写成$\omega$，于是
$x_2=\root{3}{p} \omega$ $x_3=\root{3}{p}\omega ^2$

图片说明：塔塔利亚

下面进入一般的三次方程的求解：
对于一道三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0(a!=0)$，我们有可以用换元法，设$y=x+b/{3a}$，将原方程变为关于y的三次方程：
$y^3+py+q=0 \Leftrightarrow y^3+py=-q$
$y=x+b/{3a}$ $p=c/{3a}-{b^2}/{9a^2}$ $q=\frac{2{b^3}/{27a^3}-{bc}/{3a^2}+d/a}{2}$

(卡丹的证明)由于$(a-b)^3+3ab(a-b)=a^{3}-b^{3}$，所以$3ab=p,a^{3}-b^{3}=-q,y=a-b$，于是变成关于a,b的六次方程组，而这一道六次方程组很简单，通过换元法，就变成了一道二次方程组，可以求解。最后我们得到的结果为：
$a=\root{3}{-q/2+\sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}$ $b=\root{3}{q/2+\sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}$

接下来就很容易得出原方程的解了。

图片说明：卡丹，又译卡尔达诺

最终，我们得出关于方程$y^3+px+q=0$的求根公式为
$x_1=\root{3}{-q/2+\sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}+\root{3}{-q/2-\sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}$
$x_2=\omega \root{3}{-q/2+\sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}+\omega^2\root{3}{-q/2-\sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}$
$x_3=\omega^2\root{3}{-q/2+\sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}+\omega \root{3}{-q/2-\sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}$

$\omega=1/2(-1+\sqrt{3}i)$

看到这里，如果想挑战自己的你，请写出$ax^3+bx^2+cx+d=0(a!=0)$的一般求根公式吧^_^

至于四次方程，有时间也会写一下。

参考资料：
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B&variant=zh-cn
http://baike.baidu.com/view/521598.htm
http://baike.baidu.com/view/1315076.htm
http://www.oursci.org/archive/magazine/200112/011208.htm