向量在几何和物理中都有极其重要的作用，现在就让我们来看如何用向量研究物理中的圆周运动。

首先我们必须了解一些基础：

1.在向量中，只要一条“向径”($\stackrel{\to}{r}$)就可以描述出物体的运动，而不需要建立坐标系。这就是向量应用于物理的原因：物理定律不应该依赖于坐标系，而向量恰恰也不依赖于坐标系！
2.牛顿第二定律：$\stackrel{\to}{F}=m\stackrel{\to}{a}$
3.以及一些向量的微积分运算等（可以查阅维基百科或者相关资料）

在下面及以后的文章描述中，为了大家的阅读方便，把向量写成$\stackrel{\to}{r}$的形式，而非把字母加粗。一般情况下，在本站的描述中，有$|\stackrel{\to}{r}|=r,|\dot{\stackrel{\to}{r}}|=v,|ddot{\stackrel{\to}{r}}|=a$。但是，$dot{r}=\frac{d|\stackrel{\to}{r}|}{dt} != |\dot{\stackrel{\to}{r}}|$

上图是一个简单的圆周运动示意图，其中我们得到：
$\stackrel{\to}{F}=m\stackrel{\to}{a}$
$\stackrel{\to}{a}=\ddot{\stackrel{\to}{r}}$
$\stackrel{\to}{v}=\dot{\stackrel{\to}{r}}$

其中$\stackrel{\to}{F}$是合外力，由于速度方向总是与向径方向垂直，我们就有
$\stackrel{\to}{r}*\dot{\stackrel{\to}{r}}=0$————(1)
并且
$\frac{d}{dt}(\stackrel{\to}{r}*\dot{\stackrel{\to}{r}})=\dot{\stackrel{\to}{r}}^2+\stackrel{\to}{r}*\ddot{\stackrel{\to}{r}}=0$
得出
$m\dot{\stackrel{\to}{r}}^2+\stackrel{\to}{r}*m\ddot{\stackrel{\to}{r}}=0$
$mv^2+\stackrel{\to}{r}*\stackrel{\to}{F}=0$————(2)

其中$\stackrel{\to}{F}$是合外力（请记住，向心力由合外力提供，是合外力的一个分力，不能说物体受到向心力的作用），(1)和(2)结合起来，就是描述圆周运动的基本方程。

如果该运动为匀速圆周运动，v恒定，则应该有$\dot{\stackrel{\to}{r}}^2=const$，即
$\frac{d}{dt}(\dot{\stackrel{\to}{r}}^2)=2\dot{\stackrel{\to}{r}}*\ddot{\stackrel{\to}{r}}=0$
即$\dot{\stackrel{\to}{r}}*\stackrel{\to}{F}=0$————(3)

即合外力方向与速度方向垂直，结合(2)，有
$\stackrel{\to}{F}=-m(\frac{\dot{\stackrel{\to}{r}}^2}{r^2})\stackrel{\to}{r}=-m\omega^2 \stackrel{\to}{r}$
$F=\frac{mv^2}{r}$