昨天在研究一个最优化问题时，遇到了一个这样的积分：
$\int \frac{1}{cos^3 \theta} d\theta$

然后就顺便研究了一下这种类型的函数的积分。一般来讲，这类积分可以写成$\int cos^n \theta d\theta$或$\int sin^n \theta d\theta$，其中n是一个整数。

首先我们来解决n=1的情况，我们很容易就有$\int cos\theta d\theta=sin\theta +C$或$\int sin\theta d\theta=-cos\theta +C$，这是一个基本的结果。

如果n是大于1的正整数，那么可以用递推的方法来搞定：

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BoJone记得自己第一次接触三角函数大概是小学五、六年级的时候，那时候我拿来了表姐的初中数学书来看。看到三角函数一章后，饶有兴致，希望能够找到一个根据角度来求三角函数值的方法，可是书本上只是教我去用计算器算和查表，这让我这个爱好计算的孩子大失所望。这个问题直到高一才得以解决，原来这已经涉及到了微积分中的泰勒级数了...

我记得为了求任意角度的三角函数值，我曾经根据30°、45°和60°的正弦值拟合过一条近似公式出来：
$sin A \approx \sqrt{\frac{A}{60}-1/4}$

其中A以角度为单位，大致适用于25°~60°，精度好像有两位小数。当然，这个结果在今天看来是很粗糙的，但是这毕竟是我的“小学的作品”！在此留念一翻。

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椭圆坐标系是一种二维正交坐标系。与直角坐标的转换关系为
$x = a cosh \mu cos \nu$
$y = a sinh \mu sin \nu$

其中$(-a,0)$和$(a,0)$是两个焦点。

参看：http://zh.wikipedia.org/wiki/椭圆坐标系

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对于解方程，代数学家希望能够从理论上证明解的存在性以及解的求法，所以就有了1到4次方程的求根公式、5次及以上的代数方程没有根式可解等重要理论；然而，通常的学者（如物理学家、天文学家）都不需要这些内容，他们只关心如何尽可能快地求出指定方程的根（尤其是实数根），所以他们通常关注的是方程的数值算法，当然，如果能有一个相对简单的求根公式，也是他们所希望的。而接下来所要介绍的内容，则是满足了这一需要的三次方程的求根公式，其中用到的相当一部分的理论，是与三角函数相关的。

知识储备：
$\frac{2}{tan 2A}=\frac{1}{tan A}-tanA$————(1)
$\frac{2}{sin 2A}=\frac{1}{tan A}+tanA$————(2)
$cos(3A)=4cos^3 A-3cosA$————(3)

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