在数学中，我们把极限
$\lim_{x->\infty}(1+1/x)^x$

记为e，并且可以计算出e=2.7182818284590452353602...，这是一个与π同等重要的数（甚至有些书认为它比π更重要）。和π一样，这个数也是一个“无理数”。现在我们来证明一下

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在网上查找到的，好像有三个不同的版本，全部摘录在此。

关于正17边形的尺规作图方法，请看：
http://spaces.ac.cn/article.asp?id=104

本文章只是证明它的存在（就是求出$cos({2\pi}/{17})$）。

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这是一道很多时候都会考到的题目：
比较$n^{n+1}$与$(n+1)^n$的大小（其中n非负）。

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本证明是站长经过很长时间独立研究得出，望转载者要注明原作者和出处，否则定追究版权责任！ （公式很多，推荐使用火狐浏览器）

关于这个不等式由来已久，从$\frac{a+b}{2}>=\sqrt{ab}$开始，人们逐渐地发现，只要$a_1,a_2,...,a_n>=0$，那么就一定会有$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}>=\root{n}{a_1 a_2...a_n}$。对于比较小的n，人们已经可以证明上式成立，但是，一般形式的证明则是近年来的事情。

我自己很早就接触到了这个不等式（好像是3年前，我读六年级），从那个时候开始，我就一直寻找这个不等式的证明，但是除了n=2的情况外，其余一直未果。直到三个月前的一节数学课，在发愣之余就想出来了(^_^)。一开始证明了n=3的情况，然后就势如破竹，证明了对于任何的n，这条不等式都成立。

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证明下列极限：
$\lim_{x->0}(\frac{a^x+b^x}{2})^{3/x}=ab\sqrt{ab}$

解：
这是我认为比较难的极限题目之一，由麦克劳林公式可以推出：
$a^x=1+x ln a+\frac{x^2 ln^2 a}{2!}+\frac{x^3 ln^3 a}{3!}+...$

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在中学，有理数的定义为整数和分数的集合，统一来说就是能够写成两个整数之比的数。那相对地，无理数自然就是不能写成两个整数之比的数了，也就是无限不循环小数，比如$\pi,\sqrt{2}$等等。历史上无理数的发现带来了第一次数学危机，并生下了一颗“金蛋”，不过发现者却因此丢掉了生命。让我们永远铭记——希帕索斯(Hippasus)。

历史：

http://baike.baidu.com/view/1167.htm#2

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在“数学研发论坛”看到了，感到不错，转给大家！
原文是：http://bbs.emath.ac.cn/thread-1651-1-1.html

费马大定理，主要是指：

方程$x^n+y^n=z^n(n>=3,n \in R^+)$，x,y,z不可能同时为正整数。

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