这个星期研究了两道微分方程问题：“导弹跟踪”以及“太阳炉”问题。从中我加深了对微分方程的理解，也熟悉了微分方程的相关运算。仅此记录，权当抛砖引玉。

一、微分方程的本质

很多读者都知道，自从牛顿和莱布尼兹发明微积分之后，微积分就迅速地渗透到了几乎所有的学科，后来发展出许多出色的分支，如变分、微分方程等。众所周知，微分方程是解决很多重要问题的工具。不知道各位读者对微分及微分方程的认识如何？其实对于常微分方程而言，它的本质和我们已经学习过的代数方程一样，只不过相互之间的对应运算关系除了常规的加减乘除幂等之外，还多了两个相互关系：微分和积分。例如对于一阶微分方程$\dot{y}=f(x,y)$，也许大家都认为它是一个二元方程，其实不然，这是一个“四个未知数、三道方程”所组成的方程组，我们可以将它写成

$$dy=f(x,y)dx,y=\int dy,x=\int dx$$

其中未知数分别是$x,y,dx,dy$，这里得注意一点：dx和dy虽然趋于零，但它们是一个变量而非定量（请查阅相关微积分严格分析的书籍）。也许你会奇怪我这样来描述究竟有什么好处？实际上，这样有助于我们降低对微分方程的神秘感（注意不是难度），同时在解微分方程组的时候有助于引导我们有方向地进行消元。了解此后，我们会有目的地使用通常的代数运算和微分来消去未知数，使其只剩下x和dx（或y和dy）。

二、微分的计算

这个星期我探讨了$\frac{d^2 y}{dx^2}$和$\frac{d^2 x}{dy^2}$的关系。令$\frac{dy}{dx}=P$，则$\frac{d^2 x}{dy^2}=\frac{d(1/P)}{dy}=-\frac{dP}{P^2 dy}=-\frac{dP dx}{P^2 dx dy}$

其中$\frac{dP}{dx}=\frac{d^2 y}{dx^2}$，所以$\frac{d^2 x}{dy^2}=-\frac{\frac{d^2 y}{dx^2}}{(\frac{dy}{dx})^3}$。化简后发现

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{d^2 y}{d^2 x}$$

也许读者觉得这个结论很不错，把高阶微分和一阶微分联系起来了。然而，虽然这个结论并没有错误，但它却是不严谨、甚至没有意义的。因为对于微分，我忽略了一个重要的问题：一般而言，$\frac{d^2 y}{dx^2}$中的$d^2 y$并不等于$\frac{d^2 y}{dt^2}$中的$d^2 y$。也就是说，即使对于同一个函数式，其二阶微分是不定的，要视自变量而定。那么上式的写法还有什么意义呢？

———————————BoJone于2010.11.03

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        author={苏剑林},
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