《自然极值》系列——7.悬链线问题

约翰与他同时代的110位学者有通信联系，进行学术讨论的信件约有2500封，其中许多已成为珍贵的科学史文献，例如同他的哥哥雅各布以及莱布尼茨、惠更斯等人关于悬链线、最速降线（即旋轮线）和等周问题的通信讨论，虽然相互争论不断，特别是约翰和雅各布互相指责过于尖刻，使兄弟之间时常造成不快，但争论无疑会促进科学的发展，最速降线问题就导致了变分法的诞生。

有意思的是,1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出过悬链线问题向数学界征求答案。即：

固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，求项链的曲线方程.

吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，电杆间的电线都是悬链线。伽利略最早注意到悬链线，猜测悬链线是抛物线。1691年莱布尼兹、惠更斯以及约翰·伯努利各自得到正确答案，所用方法是诞生不久的微积分。

在《自然极值》系列我们已经了解到的一些知识，我们尝试对这个问题进行解答。无疑，“悬链”已经达到了平衡状态，这时我们可以认为它的重力势能已经达到最小。虽然这有点“想当然”的感觉，但是生活经验告诉我们这是必然的，因为平衡态公理告诉我们，势能最小必定平衡，而悬链线只能有一种平衡状态。

既然认为它的重力势能已经达到最小，那么问题就变成了求固定周长的曲线中其重力势能最小的一条，这和前边的“最速降线”问题一样，属于变分的范畴。所以说，最速降线和悬链线问题在本质上是一致的。

设曲线的形状为$y=y(x)$，x轴就是地面。设悬链是均匀的，线密度为1，这每一小段$ds=\sqrt{dy^2+dx^2}$的质量为$dm=ds=\sqrt{dy^2+dx^2}$，同时，它的高度为y，所以这一部分的重力势能为$dE_p=gy dm=gy\sqrt{dy^2+dx^2}=gy\sqrt{\dot{y}^2+1}dx$。同样，由于纯粹为了探讨曲线形状，令g=1.于是问题变成了求令
$$\int_{x_1}^{x_2} y\sqrt{\dot{y}^2+1}dx$$
为极小值的函数y(x)。

在本系列的第六篇文章中，我们曾导出了一条公式(1)

$v^2(1+\dot{y}^2)=Const$————(1)

并指出了当v的表达式中仅仅显含y时，满足
$$t=\int_{x_1}^{x_2} \frac{\sqrt{\dot{y}^2+1}dx}{v}$$
取最小值的函数由(1)式算出。

那么对于本题，可以令$v=\frac{1}{y}$，代入(1)，就得到$\frac{1+\dot{y}^2}{y^2}=C$

并可以化为$dx=\frac{1}{\sqrt{C}}\frac{d(\sqrt{C}y)}{\sqrt{(\sqrt{C}y)^2-1}}$，积分得（这里有积分公式，将曲线放到第一象限，因而x,y均为正数。）
$$x=\frac{1}{\sqrt{C}}ln|\sqrt{C}y+\sqrt{Cy^2-1}|+C_2=\frac{1}{\sqrt{C}}arcosh(\sqrt{C}y)+C_2$$

数学家更喜欢用最右边的形式（双曲函数）来描述这一形状。进行适合的设置（就是平移该曲线，改变初始点的位置），使$C_2=0$。可以化简得到
$$y=\frac{1}{\sqrt{C}}\cos h(\sqrt{C}x)$$
这就是最终的悬链线方程。最后只有把悬链的长度拟合就行。这步工作留给读者思考一下^_^

读者还可以思考一下一个相对复杂的问题：

要是有一根足够大的悬链，直径长达地球半径，那么悬链的形状是怎样的？也就是说重力场不再均匀，只考虑地球引力。

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到现在“《自然极值》系列”已经接近尾声了，接下来我们要做一些纯分析的工作。虽然这比较枯燥，但这是无法避免的。因为一些分析的工作能够让我们更清晰地了解问题的本质，并引导我们向正确的方向前进，而不至于过度陶醉于表象上的美而无法自拔。通过下面的分析，我们将了解到求极值的一般思想，从中我们可以推导出变分学的一道基本方程——欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 。

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