《教材如何写》:BoJone的粗浅看法

在科学空间所转载的上两篇文章中，matrix67和范翔都表达了他们对大多数现行（数学&物理）教材的不满和对编写教材的一些建议。今天，BoJone也来发发牢骚，说说教材。

首先得说明下，目前BoJone只是一个高二生，或者说，是一个爱好数学、物理的高中生，因此本文所描写的观点仅仅是个人的看法，而且应该带有诸多的不成熟看法。不论如何，谨在此提出，欢迎讨论。

BoJone认为，人类都有着追求利益的倾向，要是一样东西能够对我们有“好处”，给我们带来方便，那么我们就很乐意去拥有它，或者去学习它。数学、物理理论也应当如此，当教材编写者想要引入一个新概念或介绍一个新理论、方法时，首先要做的并不是如何从严格上定义、推导、证明、最后才去应用，而相反，他们应该要大书特书引入新概念和方法后有什么“好处”。只有了解到了它的用处之后，读者才会有明确的目的和足够的心思去进一步的学习。这一步对于一些抽象的理论的学习是很重要的，要不然，那么繁琐、枯燥的推理证明过程会抹杀掉绝大多数人的信心，纵使后来“终于”弄懂了它的用处，也兴趣倍减。说到这里，就不得不批评一下人教版数学选修教材中的一个很让人反感的做法，在《选修2-2》中它引入了复数，但仅仅简单交待了复数的加减乘除运算和模等定义后就了事，对于复数的一些精华，比如复数乘法代表着坐标旋转等，则全然不提，这样的“复数”有何意义呢？有同学问我：“学复数有什么用？”我只能回答：“就目前来说，复数的唯一作用就是增加了我们高考的负担。”

同时，BoJone还发现，作为教材编写者，他们对历史了解很是含糊，有太多的“想当然”。最明显的一个例子就是谈到“为何要引入复数”时，教科书上的回答是：为了处理$x^2+1=0$无解的情况就引入了虚数单位i。但是这样的吗？高中生都知道，我们在求解一元二次方程是，只要判别式为负，我们就会大声说“此方程无解”，谈何引入复数之说？事实上，复数的引入是为了处理三次方程的解问题，才“迫不得已”引入的，因为数学家发现三次方程有三个实数根时就会遇到负数开平方的运算，于是很不情愿地发明了“虚数”（Imagination，想象的数）。至于作用，只是后来的事情。可是，教材为什么就不说清楚呢？显然，只通过$x^2+1=0$向学生引入复数会让他们很迷惑，他们会疑问：“为什么之前说无解，现在却说两个解呢？为什么要这样做？”等等。

说到历史，BoJone深有感触，可以这样说，BoJone的数学之路就是从一本《数学史选讲》开始的。我们学习是一个从无到有的过程，数学知识的积累在整个数学史上也是从无到有的过程，两者都循序渐进，因此，历史有着很大的借鉴作用，甚至说，我们也应该根据历史的发展去学习。哪些数学知识在史上先出现，我们就应该先学习哪些知识。因为古代的数学知识都是比较重视实际应用的，因此想对于那些复杂繁琐的理论，我们更需要这些数学知识。甚至于，哪些数学家在研究问题上走了什么弯路、犯了什么错误，我们在学习时也要把它再犯一遍！！因为只有亲自做过、错过，我们才会深刻，我们才有可能作出更多创造性地研究结果。另外，学习历史还可以增加我们研究的激情，当看到那些激动人心的数学故事时，我总会异常兴奋，深感数学之美。例如“三次方程的擂台”、“最速降线的比拼”等故事，总让我翻来覆去地阅读，总感觉意犹未尽，有时候幻想着自己就是主角，去领略其中的学术氛围。

至于教材的另外一个问题，就是缺乏“直观性”。历史上出现过很多简洁漂亮的推导，尽管这些推导有着不严谨之处，但是这都是数学家创造性思维的体现，我们更应该去细细品味它们，而不是立马想着如何去严谨证明。一些绝妙的例子，如欧拉将有限方程的根与系数的关系推向无穷，得出
$$\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...$$
以及伯努利将几何光学的费马原理与力学类比，求出最速降线的方程等等，都应该让我们拍手叫绝的。作为学习的第一步，我们应该先去读懂这些“不严谨”的内容，然后才想着怎样才能严谨。而教材的编写，就应该撰入更多这方面的内容，而且要放在每章节的开头，而不是简单作为“附录”。因为这些推导都是极具创造性的，在BoJone看来，“创造性”要略重要于“严谨性”。试想，当我们打开随便一本关于随便什么主题的现代数学教本时，他面对的就是抽象的符号推理，而与他关于实际世界的感官经验完全脱节，这是多么悲观的一件事情！我们很难从这样的教材中学习到一些创造性的思维。在这方面，我很欣赏《数学是什么》、《复分析:可视化方法》等书，作者甚至是故意扔掉了那些严谨的证明过程，而引入大量的创造性推理，尤其引人入胜。

教材要教给我们的，不应该只是“怎么算”，还应该包括“为什么这么算”。有些复杂的问题经过一个变换后，就变简单了很多，我们不禁拍手。可是多数教材对“从哪里方面思考而得到这个变换”，却只字未提。例如在汪家訸所著的《三体问题》中介绍到了利用椭圆坐标变换可以解决“双不动中心”问题，但他完全没有提到如何去思考而得到这个变换，令我在阅读时候感到很茫然。因此，教材不应该只是简单地罗列题目、罗列答案，而是教会我们怎么思考。再比如在绝大多数的理论力学教材中，讲述最小作用量原理时，讲到了牛顿力学、狭义相对论等等理论体系的作用量，但是很少有人会提到“如何去寻找作用量”、“作用量具有怎样的特征”。

暂时先扯到这儿...^_^

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