在学习正项级数的时候,我们的数学分析教材提供了各种判别法,比如积分判别法、比较判别法,并由此衍生出了根植法、比值法等,在最后提供了一个比较精细的“Raabe判别法”。这些方法的精度(强度)各不相同,一般认为“Raabe判别法”的应用范围最广的。但是在我看来,基于p级数的比较判别法已经可以用于所有题目了,它才是最强的方法。

p级数就是我们熟悉的
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

通过积分判别法可以得到当p>1时该级数收敛,反之发散。虽然我不能证明,但是我觉得以下结论是成立的:

若正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛,则总可以找到一个常数A以及一个大于1的常数p,使每项都有$a_n < \frac{A}{n^p}$。

而p级数是通过积分判别法证明其敛散性的,因此最最本质的应该是积分判别法,但是它不便于应用,因此我们只谈“基于p级数的比较判别法”。

下面举一个例子来说明怎么找到A和p。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{1}{2n+1}$$

其中!!是双阶乘,即$n!! =n(n-2)(n-4)...$。上述级数是收敛的,但是上述级数条件很强,一般的判别法都不适用了,书本上是用Raabe判别法判断的,说明它是一个收敛速度比较慢的级数。下面用比较判别法证明其收敛性。


$$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{1}{2n+1} < \frac{A}{n^p}$$

主要考虑数学归纳法,即n+1时有:
$$\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!} \frac{1}{2n+3} < \frac{A}{(n+1)^p}$$

两边相除,得出由前者推出后者的一个充分条件是:
$$(\frac{2n+1}{2n+2})(\frac{2n+1}{2n+3}) < (\frac{n}{n+1})^p$$

总可以选择充分小但是大于1的p使上式恒成立的,我们先来估计一下p。我们将其改成:
$$(\frac{2+\frac{1}{n} }{2+\frac{2}{n}})(\frac{2+\frac{1}{n}}{2+\frac{3}{n}}) < (\frac{1}{1+\frac{1}{n}})^p$$

两边都以$\frac{1}{n}$展开(注意我们现在是估计,还不是证明
$$1-\frac{1.5}{n} < 1-\frac{p}{n}$$

初步的估计是p=1.5即可,当然保险起见也可以取p=1.4、1.3等。但是事实是p=1.5时不等式
$$(\frac{2n+1}{2n+2})(\frac{2n+1}{2n+3}) < (\frac{n}{n+1})^p$$

已经恒成立了(证明不详写了,挺简单的证明)。怎么选取A呢?事实上,选好了p之后,我们只要选择足够大的A使$\frac{A}{n^p}$的第一项大于原级数的第一项即可,这里比较简单,取1即可。于是我们的证明就完成了,即通过构造
$$\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!} \frac{1}{2n+3} < \frac{1}{(n+1)^{1.5}}$$
完成了证明。

另一方面,证明发散就更容易了,因为我们并不需要选择合适的p(p=1),只需要挑选适当的A即可!

结论

当然,本文指出p级数比较判别法最强只是一个猜测,是不是存在一个正项级数不能用该方法判别,我无法得知。但是从我的做题经验来看,还没有遇到过不能用该方法判别的例子。如果读者能够找到这样一个反例,那就更加完美了。


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