看完了“双不动中心”问题,我们不妨再来看一个貌似简单一点的力学问题,在一个固定质点的引力吸引的基础上,增加一个恒力作用,研究这样的力场中小天体的运动。
咋看上去这个问题比“双不动中心”简单多了,至少运动方程也显得更简单:
$$\ddot{vec{r}}=-GM\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}+\vec{F}$$
其中$\vec{F}$是一个常向量。不过让人比较意外的是,这个问题本质上和“双不动中心”是一样的,它可以看作是双不动中心问题的一个极限情况。而且它们的解法也是惊人地相似,下面我们就来分析这一个过程。
首先很容易写出这个方程的能量守恒积分:
$$1/2 \dot{vec{r}}^2-GM\frac{1}{|\vec{r}|}-\vec{F}\cdot \vec{r}=h$$
备忘:椭圆坐标与复三角函数
By 苏剑林 | 2011-04-10 | 47184位读者 | 引用《方程与宇宙》:一种有趣的三体问题坐标
By 苏剑林 | 2011-02-19 | 22291位读者 | 引用通常来说,选取惯性系为参考系,列出的三体问题方程为
$$\ddot{\vec{r}}_k=\sum_{i=1,i != k}^{n} Gm_i\frac{\vec{r}_i-\vec{r}_k}{|\vec{r}_i-\vec{r}_k|^3}$$
历史上出现过很多不同形式的变换,使得三体问题的运动方程有了各样的形式,如Lagrange形式、Jacobi形式、Hamilton形式等。这些变换形式都各有特点,都能够在一定程度上化简三体问题。BoJone在研究摆弄等质量型三体问题的运动方程时,也发现了一种很有趣的变换,在此贴出与大家分享。
设$\vec{R}_1=\vec{r}_1-\vec{r}_2,\vec{R}_2=\vec{r}_2-\vec{r}_3,\vec{R}_3=\vec{r}_3-\vec{r}_1$,则三体问题的运动方程变为
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