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7
Mar
轻微的扰动——摄动法简介(3)
By 苏剑林 | 2013-03-07 | 49312位读者 | Kimi 引用微分方程领域大放光彩
虽然微分方程在各个计算领域都能一展才华，不过它最辉煌的光芒无疑绽放于微分方程领域，包括常微分方程和偏微分方程。海王星——“笔尖上发现的行星”——就是摄动法的著名成果，类似的还有冥王星的发现。天体力学家用一颗假设的行星的引力摄动来解释已知行星的异常运动，并由此反推未知行星的轨道。我们已不止一次提到过，一般的三体问题是混沌的，没有精确的解析解。这就要求我们考虑一些近似的方法，这样的方法发展起来就成为了摄动理论。
跟解代数方程一样，摄动法解带有小参数或者大参数的微分方程的基本思想，就是将微分方程的解表达为小参数或大参数的幂级数。当然，这是最直接的，也相当好理解，不过所求得的级数解有可能存在一些性态不好的情况，比如有时原解应该是一个周期运动，但是级数解却出现了诸如$t \sin t$的“长期项”，这是相当不利的，因此也发展出各种技巧来消除这些项。可见，摄动理论是一门应用广泛、集众家所大成的实用理论。下面我们将通过一些实际的例子来阐述这个技巧。
曾经我会一字不差地看完你的日志，
一点蛋疼的破事都会当成宝贝一样。
和你分享，
跟你在一起,
笑点低的莫名其妙。
你知道我所有的事，
我也收藏着你太多的秘密。
我们可以一直聊到凌晨，
好像从来不缺话题。
可是...
可是...
后来，我们慢慢失去了联系。
等我们发现
时间是贼了，
它早己把我们
说不完的话
偷光了。
偶尔遇见，
也只能尴尬一笑，
寒暄几句，
便再无联络。
你一定以为无情的我把过去都忘记了，
你以为我把你看得不再重要。
那么，你肯定不知道，
我常梦见我们一起仰望过的那片天空呢。
亲爱的老朋友，
和亲爱的曾经心心相印的人。
不联系不是因为你不重要，
而是我好怕，
我不再重要。
27
Feb
纠缠的时空（二）：洛仑兹变换的矩阵(续)
By 苏剑林 | 2013-02-27 | 25192位读者 | Kimi 引用在上一篇文章中，我们以矩阵的方式推导出了洛仑兹变换。矩阵表述不仅仅具有形式上的美，还具有很重要的实用价值，比如可以很方便地寻找各种不变量。当洛仑兹变换用矩阵的方式表达出来后，很多线性代数中已知的理论都可以用在上边。在这篇小小的续集中，我们将尝试阐述这个思想。
本文中，继续设光速$c=1$。
我们已经得到了洛仑兹变换的矩阵形式：
\begin{equation}\left[\begin{array}{c} x\\t \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & v\\ v & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x'\\t' \end{array}\right]\end{equation}
21
Feb
[问题解答]有多少位数字？
By 苏剑林 | 2013-02-21 | 19237位读者 | Kimi 引用解决完上一题《有多少个5？》后，子瑞表示看到一道类似的题目，当然，这道题比上一道难一些：
一个数，各个数字加起来等于900，乘以2后各个数字加起来还是等于900，已知这个数字只有3、4、5、6组成，请问满足条件的最大数与最小数的积有多少位数？
要解答这个问题，我们只需要知道最大数和最小数分别有多少位即可。因为最大数必然是6...3的形式，而最小数只能是3...6的形式，它们的位数之和就是所求的位数。
怎样比较两个数的大小呢？显然，在不同位数的数时，位数多的数要大，同样位数才从高到低逐位比较。因此，我们应当考虑位数的最大与最小。
18
Feb
[问题解答]有多少个5？
By 苏剑林 | 2013-02-18 | 33125位读者 | Kimi 引用
9
Feb
新年快乐！桃花迎春！
By 苏剑林 | 2013-02-09 | 21310位读者 | Kimi 引用
6
Feb
轻微的扰动——摄动法简介(2)
By 苏剑林 | 2013-02-06 | 48089位读者 | Kimi 引用为了让大家更加熟悉摄动法的基本步骤，本文再讲一个用摄动法解代数方程的例子。这是从实际研究中出来的：
$$\begin{eqnarray*} x=\frac{k(1+k^2+k^4+l^2)}{2(1+k^2)^2} \\ k=\frac{dy}{dx}\end{eqnarray*} $$
这是一道微分方程。要求解这道方程，最好的方法当然是先从第一式解出$k=k(x)$的形式然后再积分。但是由于五次方程没有一般的显式解，所以迫使我们要考虑近似解。当然，一般来说熟悉mathematica的人都会直接数值计算了。我这里只考虑摄动法。
我们将原方程变为下面的形式：
$$x=\frac{k}{2}[1+\frac{l^2}{(1+k^2)^2}]$$
5
Feb
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