《自然极值》系列——1.前言
By 苏剑林 | 2010-11-27 | 51657位读者 | 引用附:期中考过后,课程紧了,自由时间少了,因此科学空间的更新也放缓了。不过BoJone也会尽量地更新一些内容,和大家一同分享学习的乐趣。
上一周和这一周的时间里,BoJone将自己学习物理和极值的一些内容进行了总结和整合,写成了《自然极值》一文。因此从今天起,到十二月的大多数时间里,科学空间将和大家讲述并讨论关于“极值”的问题,希望读者会喜欢这部分内容。当然,我不是专业的研究人员,更不是经验丰富的物理和数学教师,甚至可以说是一个“乳臭未干的小子”,因此,错误在所难免,只希望同好不吝指出,更希冀能够起到我抛出的这一块“砖”能够引出美妙的“玉”。
《自然极值》系列——2.费马原理
By 苏剑林 | 2010-11-27 | 42284位读者 | 引用物理学的美不仅仅表现在简洁的公式上。我们还惊奇地发现,很多物理现象都是按照使某个变量达到极值的方式发生。一个典型的例子就是费马原理,它指出了光的传播路径的一个重要规律:光总是沿着所花时间最短的路径传播。这里我们将简单介绍一下费马原理。
费马原理俗称“最快到达原理”、“最小时间原理”。1657年,费马提出:
从P点到达Q点,在所有可行的路径中,光选择了所需时间最短的一条。
从P点到达Q点,在所有可行的路径中,光选择了所需时间为极值的一条。
这是一个极其奇妙的原理,也是自然界中最神奇的极值之一。作为非生物的光,居然自主地选择了最优路径,成为世界上“效率最高”的东西,这让人不得不佩服宇宙的伟大。这究竟是造物者的精心设计,还是无心之作?
《自然极值》系列——7.悬链线问题
By 苏剑林 | 2010-12-26 | 71734位读者 | 引用约翰与他同时代的110位学者有通信联系,进行学术讨论的信件约有2500封,其中许多已成为珍贵的科学史文献,例如同他的哥哥雅各布以及莱布尼茨、惠更斯等人关于悬链线、最速降线(即旋轮线)和等周问题的通信讨论,虽然相互争论不断,特别是约翰和雅各布互相指责过于尖刻,使兄弟之间时常造成不快,但争论无疑会促进科学的发展,最速降线问题就导致了变分法的诞生。
有意思的是,1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出过悬链线问题向数学界征求答案。即:
固定项链的两端,在重力场中让它自然垂下,求项链的曲线方程.
吊桥上方的悬垂钢索,挂着水珠的蜘蛛网,电杆间的电线都是悬链线。伽利略最早注意到悬链线,猜测悬链线是抛物线。1691年莱布尼兹、惠更斯以及约翰·伯努利各自得到正确答案,所用方法是诞生不久的微积分。
《自然极值》系列——8.极值分析
By 苏剑林 | 2010-12-26 | 45561位读者 | 引用本篇文章是《自然极值》系列最后一篇文章,估计也是2010年最后一篇文章了。在这个美好的2010年,想必大家一定收获匪浅,BoJone也在2010年成长了很多。在2010年的尾声,BoJone和科学空间都祝大家在新的一年里更加开心快乐,在科学的道路上更快速地前行。
在本文,BoJone将与大家讨论求极值的最基本原理。这一探讨思路受到了天才的费恩曼所著《费恩曼物理讲义》的启迪。我们分别对函数求极值(求导)和泛函数极值(变分)进行一些简略的分析。
一、函数求极值
对于一个函数$y=f(x)$,设想它在$x=x_0$处取到最大值,那么显然对于很小的增量$\Delta x$,有
$$f(x_0+\Delta x) \leq f(x_0)\tag{3}$$根据泰勒级数,我们有
$f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$————(4)
《自然极值》系列——3.平衡态公理
By 苏剑林 | 2010-11-28 | 18694位读者 | 引用《自然极值》系列——4.费马点问题
By 苏剑林 | 2010-11-28 | 85751位读者 | 引用通过上面众多的文字描述,也许你还不大了解这两个原理有何美妙之处,也或者你已经迫不及待地想去应用它们却不知思路。为了不至于让大家产生“审美疲劳”,接下来我们将试图利用这两个原理对费马点问题进行探讨,看看原理究竟是怎么发挥作用的。运用的关键在于:如何通过适当的变换将其与光学或势能联系起来。
传统费马点问题是指在ΔABC中寻找点P,使得$AP+BP+CP$最小的问题;而广义的费马点则改成使$k_1 AP+k_2 BP+k_3 CP$最小。这是很具有现实意义的,是“在三个村庄之间建立一个中转站,如何才能使运送成为最低”之类的最优问题。我们将从光学和势能两个角度对这个问题进行探讨(也许有的读者已经阅读过了利用重力的原理来求解费马点,但是我想光学的方法依然会是你眼前一亮的。)
《自然极值》系列——5.最速降线的故事
By 苏剑林 | 2010-12-09 | 68863位读者 | 引用如果说前面关于这个系列的内容还不能使得读者您感到痛快,那么接下来要讲述的最速降线和悬链线问题也许能够满足你的需要。不过在进入对最速降线问题的理论探讨之前,我们先来讲述一个发生在17世纪的激动人心的数学竞赛的故事。我相信,每一个热爱数学和物理的朋友,都将会为其所振奋,为其所感动。里边渗透的,不仅仅是一次学术的竞争,更是一代又一代的人对真理的追求与探路的不懈精神。
(以下内容来源于网络,科学空间整理)
意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题── “一个质点在重力作用下,从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B,如果不计摩擦力,问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”这算是这个著名问题的起源了(为什么别人没有想起这个问题呢?所以说大科学家的素质就是思考、创新,要有思想,人没有思想,就和行尸走肉没有什么区别)。可惜的是伽利略说这曲线是圆,但这却是一个错误的答案。
《自然极值》系列——6.最速降线的解答
By 苏剑林 | 2010-12-10 | 61441位读者 | 引用通过上一小节的小故事,我们已经能够基本了解最速降线的内容了,它就是要我们求出满足某一极值条件的一个未知函数,由于函数是未知的,因此这类问题被称为“泛分析”。其中还谈到,伯努利利用费马原理巧妙地得出了答案,那么我们现在就再次回顾历史,追寻伯努利的答案,并且寻找进一步的应用。
为了计算方便,我们把最速降线倒过来,把初始点设置在原点。在下落过程中,重力势能转化为动能,因此,在点(x,y)处有$\frac{1}{2} mv^2=mgy\Rightarrow v=\sqrt{2gy}$,由于纯粹为了探讨曲线形状,所以我们使g=0.5,即$v=\sqrt{y}$。在点(x,y)处所走的路程为$ds=\sqrt{dy^2+dx^2}=\sqrt{\dot{y}^2+1}dx$,所以时间为$dt=\frac{ds}{v}=\frac{\sqrt{\dot{y}^2+1}dx}{\sqrt{y}}$,于是最速降线问题就是求使$t=\int_0^{x_2} \frac{\sqrt{\dot{y}^2+1}dx}{\sqrt{y}}$最小的函数。
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