用傅里叶级数拟合一维概率密度函数
By 苏剑林 | 2024-03-07 | 28325位读者 |在《“闭门造车”之多模态思路浅谈(一):无损输入》中我们曾提到,图像生成的本质困难是没有一个连续型概率密度的万能拟合器。当然,也不能说完全没有,比如高斯混合模型(GMM)理论上就是可以拟合任意概率密度,就连GAN本质上也可以理解为混合了无限个高斯模型的GMM。然而,GMM尽管理论上的能力是足够的,但它的最大似然估计会很困难,尤其是通常不适用基于梯度的优化器,这限制了它的使用场景。
近日,Google的一篇新论文《Fourier Basis Density Model》针对一维情形,提出了一个新的解决方案——用傅里叶级数来拟合。论文的分析过程颇为有趣,构造形式也很是巧妙,值得学习一番。
问题简述 #
可能有读者质疑:只研究一维情形有什么价值?确实,如果只考虑图像生成场景,那可能真的价值有限,但一维概率密度估计本身有它的应用价值,如数据的有损压缩,所以它依然是一个值得研究的主题。再者,即便我们需要研究多维的概率密度,也可以通过自回归的方式转化为多个一维的条件概率密度来估计。最后,这个分析和构造过程本身就很值得回味,所以哪怕是仅仅作为一道数学分析题来练习也是相当有益的。
言归正传。所谓一维概率密度估计,是指给定$n$个从同一分布采样出来的实数$x_1,x_2,\cdots,x_n$的情况下,估计采样分布的概率密度函数。这个问题的方法可以分为“非参数化估计”和“参数化估计”两类。非参数化估计主要就是指核密度估计,它跟《用狄拉克函数来构造非光滑函数的光滑近似》一样,本质上是利用狄拉克函数做光滑近似:
\begin{equation}p(x) = \int p(y)\delta(x - y) = \mathbb{E}_{y\sim p(y)}[\delta(x - y)]\approx \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \delta(x - x_i)\label{eq:delta}\end{equation}
但是$\delta(x - y)$不是常规的光滑函数,所以我们要找它的一个光滑近似,比如$\frac{e^{-(x-y)^2/2\sigma^2}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$,它是正态分布的概率密度函数,当$\sigma\to 0$的时候它就是$\delta(x-y)$,代入到上式,结果就是“高斯核密度估计”。
可以看到,核密度估计本质上就是把数据背下来,因此可以推测它泛化能力有限,另外它的复杂度正比于数据量,那么数据规模较大时也不实用,所以我们需要“参数化估计”,即构建一个非负的、归一化的、带有固定量的参数$\theta$的概率密度函数簇$p_{\theta}(x)$,然后通过最大似然就可以求解:
\begin{equation}\theta^* = \mathop{\text{argmax}}_{\theta} \sum_{i=1}^n \log p_{\theta}(x_i)\end{equation}
这个问题的关键就是如何构建一簇有足够拟合能力的概率密度函数$p_{\theta}(x)$。
已有方法 #
参数化概率密度估计的经典方法是高斯混合模型(Gaussian Mixed Model,GMM),它的出发点同样是式$\eqref{eq:delta}$加高斯核,但它不是遍历所有数据作为中心,而是通过训练的方式,找到有限的$K$个均值和方差,构建一个复杂度跟数据量无关的模型:
\begin{equation}p_{\theta}(x) = \frac{1}{K}\sum_{i=1}^K \frac{e^{-(x-\mu_i)^2/2\sigma_i^2}}{\sqrt{2\pi}\sigma_i},\quad \theta = \{\mu_1,\sigma_1,\mu_2,\sigma_2,\cdots,\mu_K,\sigma_K\}\end{equation}
GMM通常也被理解为一种聚类方法,它是K-Means的推广,$\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_K$是聚类中心,比K-Means则多出了方差$\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_K$。由于式$\eqref{eq:delta}$的理论保证,因此当$K$足够大、$\sigma$足够小时,GMM理论上总能拟合任意复杂的分布,因此GMM的理论能力是足够的。但GMM的问题在于$e^{-(x-\mu_i)^2/2\sigma_i^2}$这个形式衰减得太快,梯度消失非常严重,因此通常只能用EM算法求解(参考《三味Capsule:矩阵Capsule与EM路由》),不好用梯度优化器优化,这限制了它的应用,而且即便用EM算法也通常都只能找到一个次优的解。
原论文还提到了一个叫做DFP(Deep Factorized Probability)的方法,它是专为一维概率密度估计设计的,出自论文《Variational image compression with a scale hyperprior》。DFP利用了累积概率函数的单调性,即如下积分
\begin{equation}\Phi(x) = \int_{-\infty}^x p(y)dy \in [0,1]\end{equation}
必然是单调递增的。如果我们能先构造一个$\mathbb{R}\mapsto[0,1]$的单调递增函数$\Phi_{\theta}(x)$,那么对它求导就是一个合理的概率密度函数。如何保证一个模型的输出随着输入单调递增呢?DFP用一个多层神经网络来构建模型,并且保证:1、所有激活函数都是单调递增的;2、所有乘法权重都是非负的。在这两点约束之下,模型必然符合单调递增这一特点,最后再加个Sigmoid,就可以控制值域为$[0,1]$。
DFP的原理也称得上是简单直观,但类似于flow-based模型,这种逐层的约束会让人担心损失了拟合能力。此外,由于该模型完全由神经网络构建,根据此前《Frequency Principle: Fourier Analysis Sheds Light on Deep Neural Networks》等结论,神经网络在训练时会优先学习低频信号,这可能会使得DPF对概率密度的峰值点拟合不佳,即出现过度平滑的拟合结果,然而在很多场景下,峰值的拟合能力是衡量一个概率建模方法的重要指标之一。
请傅里叶 #
如论文标题“Fourier Basis Density Model”(下面简称FBDM)所示,论文所提的新方法,是基于傅里叶级数来拟合概率密度的。有一说一,其实用傅里叶级数来拟合这一点并不难想到,难的是里边有一个关键的非负约束不容易构造,而FBDM则是把相关的细节都走通了,不得不让人佩服。
简单起见,我们把$x$的定义域设为$[-1,1]$,由于总可以通过$\tanh$之类的变换将$\mathbb{R}$上的实数都压到到$[-1,1]$,因此这个设定并不失一般性。也就是说,现在我们所求的概率密度函数$p(x)$是定义在$[-1,1]$上的函数,那么我们可以将它写成傅里叶级数
\begin{equation}p(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\pi n x},\quad c_n = \frac{1}{2}\int_{-1}^1 p(x) e^{-i\pi n x} dx\end{equation}
然而,我们现在要做的事情是反过来的,并非已知$p(x)$求它的傅里叶级数,而是只知道$p(x)$的样本,需要把$p(x)$设成如下的截断傅里叶级数形式,然后把系数$c_n$通过优化器求出来:
\begin{equation}f_{\theta}(x) = \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{i\pi n x},\quad \theta = \{c_{-N},c_{-N+1},\cdots,c_{N-1},c_N\}\label{eq:fourier-series}\end{equation}
众所周知,作为一个合理的概率密度函数,$f_{\theta}(x)$至少要满足如下两个条件:
\begin{equation}\text{非负:}\,\,f_{\theta}(x)\geq 0,\quad \text{归一:}\,\,\int_{-1}^1 f_{\theta}(x)dx = 1\end{equation}
问题是如果$c_n$取任意实数/复数,那么式$\eqref{eq:fourier-series}$是否实数都无法保证,更不用说非负了。所以说,用傅里叶级数来拟合并不难想,难在如何设定$c_n$的形式,使得对应的输出必然是非负的(后面我们将会看到,在傅里叶级数下,最难的是非负,归一反而简单)。
保证非负 #
这一节我们就来看全文难度最高的非负性构造。当然,这里的难并不是说它推导有多复杂,而是非常有技巧性。
首先,我们知道非负的前提是实数,而保证实数相对比较简单:
\begin{equation}c_n^* = \left[\frac{1}{2}\int_{-1}^1 p(x) e^{-i\pi n x} dx\right]^* = \frac{1}{2}\int_{-1}^1 p(x) e^{i\pi n x} dx = c_{-n}\end{equation}
可以反过来证明这个条件也是充分的,所以保证实数只需要约束$c_n^* = c_{-n}$,这个相对来说很容易实现,同时这也意味着式$\eqref{eq:fourier-series}$的级数作为概率密度函数时,只有$c_0,c_1,\cdots,c_N$这$N+1$个独立参数。
关于非负约束,原论文只是抛出了一个“Herglotz’s theorem”的引用,然后就直接给出了答案,可以说几乎没有推导。笔者搜了一下Herglotz’s theorem,也发现鲜有介绍,因此只好尝试跳过Herglotz’s theorem,用自己的方式去理解原论文的答案了。
考虑任意整数的有限子集$\mathbb{K}\subseteq\mathbb{N}$,以及对应的任意复数列$\{u_k|k\in\mathbb{K}\}$,我们有
\begin{equation}\begin{aligned}
\sum_{n,m\in \mathbb{K}} u_n^* c_{n-m} u_m =&\, \sum_{n,m\in \mathbb{K}} u_n^* \left[\frac{1}{2}\int_{-1}^1 p(x) e^{-i\pi (n-m) x} dx\right] u_m \\
=&\, \frac{1}{2}\int_{-1}^1 p(x) \left[\sum_{n,m\in \mathbb{K}} u_n^* e^{-i\pi (n-m) x} u_m \right] dx \\
=&\, \frac{1}{2}\int_{-1}^1 p(x) \sum_{n,m\in \mathbb{K}} \left[(u_n e^{i\pi n})^* (u_m e^{i\pi m})\right] dx \\
=&\, \frac{1}{2}\int_{-1}^1 p(x) \left[\left(\sum_{n\in \mathbb{K}}u_n e^{i\pi n}\right)^* \left(\sum_{m\in \mathbb{K}}u_m e^{i\pi m}\right)\right] dx \\
=&\, \frac{1}{2}\int_{-1}^1 p(x) \left|\sum_{n\in \mathbb{K}}u_n e^{i\pi n}\right|^2 dx \\
\geq&\, 0 \\
\end{aligned}\end{equation}
最后的$\geq 0$取决于$p(x)\geq 0$,所以我们就得出了$f_{\theta}(x)\geq 0$的一个必要条件:$\sum\limits_{n,m\in \mathbb{K}} u_n^* c_{n-m} u_m\geq 0$。如果将所有$c_{n-m}$排列成一个大矩阵(Toeplitz矩阵),那么这个条件用线性代数的话说就是任意$\mathbb{K}$对应的行列交集组成的子矩阵都是复空间中的正定矩阵。也可以证明这个条件是充分的,即满足此条件的$f_{\theta}(x)$必然恒大于0。
所以问题变成了如何找一个复数列$\{c_n\}$,使得对应的Toeplitz矩阵$\{c_{n-m}\}$是一个正定矩阵。看上去这转换把问题变得更加复杂了,但对于了解时间序列的读者来说,他们可能知道一个现成的构造方式,那就是“自相关系数”:对于任意复数列$\{a_k\}$,自相关系数定义为
\begin{equation}r_n = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k a_{k+n}^*\end{equation}
可以证明$r_{n-m}$必然是正定的:
\begin{equation}\begin{aligned}
\sum_{n,m\in \mathbb{K}} u_n^* r_{n-m} u_m =&\, \sum_{n,m\in \mathbb{K}} u_n^* \left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k a_{k+n-m}^*\right) u_m \\
=&\, \sum_{n,m\in \mathbb{K}} u_n^* \left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{k+m} a_{k+n}^*\right) u_m \\
=&\, \sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{n\in \mathbb{K}} a_{k+n} u_n\right)^*\left(\sum_{m\in \mathbb{K}} a_{k+m} u_m\right) \\
=&\, \sum_{k=-\infty}^{\infty}\left|\sum_{n\in \mathbb{K}} a_{k+n} u_n\right|^2 \\
\geq&\, 0
\end{aligned}\end{equation}
因此将$c_n$取成$r_n$的形式就是一个可行的解。为了确保$c_n$的独立参数量只有$N+1$个,我们约定当$k < 0$或者$k > N$时$a_k=0$,那么得到
\begin{equation}c_n = \sum_{k=0}^{N-n} a_k a_{k+n}^*\end{equation}
这就构成出了对应的$c_n$,使得式$\eqref{eq:fourier-series}$的傅里叶级数的结果必然非负,满足了概率密度函数的非负要求。
一般结果 #
至此,整个问题中最难的部分——“非负性”已经被解决。剩下的归一化很简单,因为
\begin{equation}\int_{-1}^1 f_{\theta}(x)dx = \int_{-1}^1 \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{i\pi n x} dx = 2c_0\end{equation}
所以归一化因子就是$2c_0$!于是我们只需要将$p_{\theta}(x)$设成
\begin{equation}
p_{\theta}(x) = \frac{f_{\theta}(x)}{2c_0}=\frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{N} \frac{c_n e^{i\pi n x} + c_{-n}e^{-i\pi n x}}{2c_0} = \text{Re}\left[\frac{1}{2} + \sum_{n=1}^N \frac{c_n}{c_0} e^{i\pi n x}\right], \\
c_n = \sum_{k=0}^{N-n} a_k a_{k+n}^*,\quad\theta = \{a_0,a_1,\cdots,a_N\}\end{equation}
它就是一个有效的概率密度候选函数。
当然,目前这个分布还只是定义在$[-1,1]$,我们需要将它扩展到整个$\mathbb{R}$上,这个不难,我们先想一个将$\mathbb{R}$压缩为$[-1,1]$的变换,然后求变换之后的概率密度形式就行。为此,我们可以先通过原始样本估计出均值$\mu$和方差$\sigma^2$,然后通过$x=\frac{y-\mu}{\sigma}$就将它变为均值为0、方差为1的分布,接着就可以通过$x=\tanh\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)$压缩到$[-1,1]$中,对应的新概率密度函数为
\begin{equation}q_{\theta}(y) = p_{\theta}(x)\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\sigma}\text{sech}^2\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right) p_{\theta}\left(\tanh\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)\right)\end{equation}
从端到端学习的角度来讲,我们可以直接把原始数据代入到$q_{\theta}(y)$的对数似然中进行优化(而不是先压缩后优化),甚至可以连同$\mu,\sigma$也当成可训练参数一起调整。
最后,为了防止过拟合,我们还需要一个正则项,正则项的目的是希望拟合的分布能稍微平滑一些,不要过度陷入局部细节中,为此,我们考虑$f_{\theta}(x)$导数的模长平方作为正则项:
\begin{equation}\gamma\int_{-1}^1 \left|\frac{df_{\theta}(x)}{dx}\right|^2 = \gamma\sum_{n=-N}^N 2\pi^2 n^2 |c_n|^2 dx\end{equation}
从最后的形式可以看出,它加大了高频项系数的惩罚权重,这可以避免模型过度拟合高频细节,从而提高泛化能力。
延伸思考 #
到这里,我们已经把FBDM的所有理论推导完成了,剩下的自然是做实验,这部分我们不再重复,直接看原文的结果就好。注意FBDM的所有系数和运算都是在复数域内,如果强行实数化会让结果形式复杂不少,所以简单起见应该直接基于所用框架的复数运算来实现(原论文用的是Jax)。
在看实验结果之前,我们先来想想评价指标是什么。如果是模拟实验的话,我们通常都能知道真实分布的概率密度表达式,因此最直接的指标就是计算真实分布与拟合分布的KL散度/W距离等分布度量。除此之外,对于概率密度的拟合,我们通常有一个更关心的指标,那就是“峰值”的拟合效果。假设概率密度是光滑的,那么它可能有多个局部最大值点,这些局部最大值点就是我们所说的峰值,或者称为“modal”,很多场景下能否准确找到更多的modal比整个分布的度量大小更重要,比如有损压缩的基本思想就是只保留这些modal来描述分布。
而从原论文的实验结果可以看到,在同等参数量下FBDM在KL散度和modal方面都做得更好:
之所以有这样的优势,笔者猜测是因为FBDM的虚指数形式,本质上就是三角函数,它不像GMM那样的负指数有严重的梯度消失问题,因此基于梯度的优化器有更大的概率能找到更优的解答。从这个形式来看,FBDM也可以理解为连续型概率密度的“Softmax”,都是以$\exp$为基来构建一个概率分布,只不过一个是实指数,一个则是虚指数。
相比GMM,FBDM自然也有一些缺点,如不够直观、不易采样、不易推广到高维等(当然这些缺点DFP也有)。GMM很直观,就是有限个正态分布的加权平均的形式,通过先类别采样、后正态采样的层次采样就可以实现概率密度函数中采样,相比之下FBDM没那么直观的方案,看上去只能通过逆累积概率函数的方式进行采样,即先求出累积概率函数
\begin{equation} \Phi(x) = P(\leq x) = \int_{-1}^x p_{\theta}(x)dx = \frac{x^2-1}{2} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N} \frac{c_n}{c_0} \frac{e^{i\pi n x} - (-1)^n}{i\pi n}\end{equation}
然后$y=\Phi^{-1}(\varepsilon),\varepsilon\sim U[0,1]$就可以实现采样了。至于高维推广,正态分布本来就有高维形式,因此GMM推广到任意维度也很容易,但是FBDM要想直接推广到$D$维,那么就有$(N+1)^D$个参数,很明显复杂度太高,或者就像Decoder-Only的LLM一样,用自回归的方式转化为多个一维条件概率密度估计,总之,办法不能说没有,但是各种弯弯绕绕更多。
文章小结 #
本文介绍了一种用傅里叶级数来建模一维概率密度函数的新思路,关键之处是通过精巧的系数构造,来约束原本值域是复数域的傅里叶级数成为一个非负函数,整个过程颇为赏心悦目,值得学习一番。
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苏剑林. (Mar. 07, 2024). 《用傅里叶级数拟合一维概率密度函数 》[Blog post]. Retrieved from https://www.spaces.ac.cn/archives/10007
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March 7th, 2024
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March 7th, 2024
抢个沙发,
礼貌问一下苏神,
“通过自回归的方式转化为多个一维的条件概率密度来估计”,
有没有什么历史博客或者推荐资料阅读哈。
就是像LLM那样的自回归啊,只不过输出端从softmax变成了FBDM
感谢回复,我细细品品
March 19th, 2024
结果的形式很像功率谱密度和自相关函数,帕塞尔瓦定理?
从这个角度来理解是不是方便很多
最后的参数化形式确实是自相关函数,但是很遗憾,之前的我确实也不了解它,所以本文相当于是笔者的一个从零的学习笔记~
March 30th, 2024
何不用 polynomial interpolations?
如何保证非负性呢?
可以用 shifted orthogonal polynomial,例如 shifted Chebyshev Polynomial [1] 和 shifted Legendre polynomial [2]。
[1] Defferrard, M., Bresson, X., & Vandergheynst, P. (2016). Convolutional Neural Networks on Graphs with Fast Localized Spectral Filtering. In Advances in Neural Information Processing Systems. Curran Associates, Inc.
[2] Voelker, A., Kajić, I., & Eliasmith, C. (2019). Legendre Memory Units: Continuous-Time Representation in Recurrent Neural Networks. In Advances in Neural Information Processing Systems. Curran Associates, Inc.
感觉上跟三角函数本质上是一样的啊,尤其是Chebyshev Polynomial的定义都借助了三角函数。
按照 polynomial interpolation 的理論,效果要比 Fourier 好。
確實。 Manipulation of Chebyshev expansions are particularly simple because they are isomorphic to Fourier series.
April 23rd, 2024
這讓我想起 Kernel Polynomial Method