生成扩散模型漫谈(十七):构建ODE的一般步骤(下)
By 苏剑林 | 2023-02-23 | 67156位读者 |历史总是惊人地相似。当初笔者在写《生成扩散模型漫谈(十四):构建ODE的一般步骤(上)》(当时还没有“上”这个后缀)时,以为自己已经搞清楚了构建ODE式扩散的一般步骤,结果读者 @gaohuazuo 就给出了一个新的直观有效的方案,这直接导致了后续《生成扩散模型漫谈(十四):构建ODE的一般步骤(中)》(当时后缀是“下”)。而当笔者以为事情已经终结时,却发现ICLR2023的论文《Flow Straight and Fast: Learning to Generate and Transfer Data with Rectified Flow》又给出了一个构建ODE式扩散模型的新方案,其简洁、直观的程度简直前所未有,令人拍案叫绝。所以笔者只好默默将前一篇的后缀改为“中”,然后写了这个“下”篇来分享这一新的结果。
直观结果 #
我们知道,扩散模型是一个$\boldsymbol{x}_T\to \boldsymbol{x}_0$的演化过程,而ODE式扩散模型则指定演化过程按照如下ODE进行:
\begin{equation}\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt}=\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t)\label{eq:ode}\end{equation}
而所谓构建ODE式扩散模型,就是要设计一个函数$\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t)$,使其对应的演化轨迹构成给定分布$p_T(\boldsymbol{x}_T)$、$p_0(\boldsymbol{x}_0)$之间的一个变换。说白了,我们希望从$p_T(\boldsymbol{x}_T)$中随机采样一个$\boldsymbol{x}_T$,然后按照上述ODE向后演化得到的$\boldsymbol{x}_0$是$\sim p_0(\boldsymbol{x}_0)$的。
原论文的思路非常简单,随机选定$\boldsymbol{x}_0\sim p_0(\boldsymbol{x}_0),\boldsymbol{x}_T\sim p_T(\boldsymbol{x}_T)$,假设它们按照轨迹
\begin{equation}\boldsymbol{x}_t = \boldsymbol{\varphi}_t(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_T)\label{eq:track}\end{equation}
进行变换。这个轨迹是一个已知的函数,是我们自行设计的部分,理论上只要满足
\begin{equation}\boldsymbol{x}_0 = \boldsymbol{\varphi}_0(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_T),\quad \boldsymbol{x}_T = \boldsymbol{\varphi}_T(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_T)\end{equation}
的连续函数都可以。接着我们就可以写出它满足的微分方程:
\begin{equation}\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = \frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_T)}{\partial t}\label{eq:fake-ode}\end{equation}
但这个微分方程是不实用的,因为我们想要的是给定$\boldsymbol{x}_T$来生成$\boldsymbol{x}_0$,但它右端却是$\boldsymbol{x}_0$的函数(如果已知$\boldsymbol{x}_0$就完事了),只有像式$\eqref{eq:ode}$那样右端只含有$\boldsymbol{x}_t$的ODE(单从因果关系来看,理论上也可以包含$\boldsymbol{x}_T$,但我们一般不考虑这种情况)才能进行实用的演化。那么,一个直观又“异想天开”的想法是:学一个函数$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$尽量逼近上式右端!为此,我们优化如下目标:
\begin{equation}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p_0(\boldsymbol{x}_0),\boldsymbol{x}_T\sim p_T(\boldsymbol{x}_T)}\left[\left\Vert \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) - \frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_T)}{\partial t}\right\Vert^2\right] \label{eq:objective}
\end{equation}
由于$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$尽量逼近了$\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_T)}{\partial t}$,所以我们认为将方程$\eqref{eq:fake-ode}$的右端替换为$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$也是成立的,这就得到实用的扩散ODE:
\begin{equation}\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\label{eq:s-ode}\end{equation}
简单例子 #
作为简单的例子,我们设$T=1$,并设变化轨迹是直线
\begin{equation}\boldsymbol{x}_t = \boldsymbol{\varphi}_t(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1) = (\boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_0)t + \boldsymbol{x}_0\end{equation}
那么
\begin{equation}\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_T)}{\partial t} = \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_0\end{equation}
所以训练目标$\eqref{eq:objective}$就是:
\begin{equation}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p_0(\boldsymbol{x}_0),\boldsymbol{x}_T\sim p_T(\boldsymbol{x}_T)}\left[\left\Vert \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}\big((\boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_0)t + \boldsymbol{x}_0, t\big) - (\boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_0)\right\Vert^2\right]\end{equation}
或者等价地写成
\begin{equation}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_t\sim p_0(\boldsymbol{x}_0)p_t(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)}\left[\left\Vert \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) - \frac{\boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{x}_0}{t}\right\Vert^2\right]\end{equation}
这就完事了!结果跟《生成扩散模型漫谈(十四):构建ODE的一般步骤(中)》的“直线轨迹”例子是完全一致的,也是原论文主要研究的模型,被称为“Rectified Flow”。
从这个直线例子的过程也可以看出,通过该思路来构建扩散ODE的步骤只有寥寥几行,相比之前的过程是大大简化了,简单到甚至让人有种“颠覆了对扩散模型的印象”的不可思议之感。
证明过程 #
然而,迄今为止前面“直观结果”一节的结论只能算是一个直观的猜测,因为我们还没有从理论上证明优化目标$\eqref{eq:objective}$所得到的方程$\eqref{eq:s-ode}$的确实现了分布$p_T(\boldsymbol{x}_T)$、$p_0(\boldsymbol{x}_0)$之间的变换。
为了证明这一结论,笔者一开始是想证明目标$\eqref{eq:objective}$的最优解满足连续性方程:
\begin{equation}\frac{\partial p_t(\boldsymbol{x}_t)}{\partial t} = -\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\cdot\big(p_t(\boldsymbol{x}_t)\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\big)\end{equation}
如果满足,那么根据连续性方程与ODE的对应关系(参考《生成扩散模型漫谈(十二):“硬刚”扩散ODE》、《测试函数法推导连续性方程和Fokker-Planck方程》),方程$\eqref{eq:s-ode}$确实是分布$p_T(\boldsymbol{x}_T)$、$p_0(\boldsymbol{x}_0)$之间的一个变换。
但仔细想一下,这个思路似乎有点迂回了,因为根据文章《测试函数法推导连续性方程和Fokker-Planck方程》,连续性方程本身就是由ODE通过
\begin{equation}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}}\left[\phi(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})\right] = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t}\left[\phi(\boldsymbol{x}_t + \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t)\Delta t)\right]\label{eq:base}\end{equation}
推出的,所以按理说$\eqref{eq:base}$更基本,我们只需要证明$\eqref{eq:objective}$的最优解满足它就行。也就是说,我们想要找到一个纯粹是$\boldsymbol{x}_t$的函数$\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t)$满足$\eqref{eq:base}$,然后发现它正好是$\eqref{eq:objective}$的最优解。
于是,我们写出(简单起见,$\boldsymbol{\varphi}_t(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_T)$简写为$\boldsymbol{\varphi}_t$)
\begin{equation}\begin{aligned}
\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}}\left[\phi(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})\right] =&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_T}\left[\phi(\boldsymbol{\varphi}_{t+\Delta t})\right] \\
=&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_T}\left[\phi(\boldsymbol{\varphi}_t) + \Delta t\,\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}\cdot\nabla_{\boldsymbol{\varphi}_t}\phi(\boldsymbol{\varphi}_t)\right] \\
=&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_T}\left[\phi(\boldsymbol{x}_t)\right] + \Delta t\,\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_T}\left[\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}\cdot\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\phi(\boldsymbol{x}_t)\right] \\
=&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t}\left[\phi(\boldsymbol{x}_t)\right] + \Delta t\,\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_T}\left[\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}\cdot\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\phi(\boldsymbol{x}_t)\right] \\
\end{aligned}\end{equation}
其中第一个等号是因为式$\eqref{eq:track}$,第二个等号是泰勒展开到一阶,第三个等号同样是式$\eqref{eq:track}$,第四个等号就是因为$\boldsymbol{x}_t$是$\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_T$的确定性函数,所以关于$\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_T$的期望就是关于$\boldsymbol{x}_t$的期望。
我们看到,$\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}$是$\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_T$的函数,接下来我们再做一个假设:式$\eqref{eq:track}$关于$\boldsymbol{x}_T$是可逆的。这个假设意味着我们可以从式$\eqref{eq:track}$中解出$\boldsymbol{x}_T=\boldsymbol{\psi}_t(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_t)$,这个结果可以代入$\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}$,使它变为$\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_t$的函数。所以我们有
\begin{equation}\begin{aligned}
\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}}\left[\phi(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})\right] =&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t}\left[\phi(\boldsymbol{x}_t)\right] + \Delta t\,\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_T}\left[\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}\cdot\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\phi(\boldsymbol{x}_t)\right] \\
=&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t}\left[\phi(\boldsymbol{x}_t)\right] + \Delta t\,\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_t}\left[\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}\cdot\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\phi(\boldsymbol{x}_t)\right] \\
=&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t}\left[\phi(\boldsymbol{x}_t)\right] + \Delta t\,\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t}\left[\underbrace{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t}\left[\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}\right]}_{\boldsymbol{x}_t\text{的函数}}\cdot\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\phi(\boldsymbol{x}_t)\right] \\
=&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t}\left[\phi\left(\boldsymbol{x}_t + \Delta t\,\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t}\left[\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}\right]\right)\right]
\end{aligned}\end{equation}
其中第二个等号是因为$\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}$已经改为$\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_t$的函数,所以第二项期望的随机变量改为$\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_t$;第三个等号则是相当于做了分解$p(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_t)=p(\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t)p(\boldsymbol{x}_t)$,此时$\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_t$不是独立的,所以要注明$\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t$,即$\boldsymbol{x}_0$是依赖于$\boldsymbol{x}_t$的。注意$\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}$原本是$\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_t$的函数,现在对$\boldsymbol{x}_0$求期望后,剩下的唯一自变量就是$\boldsymbol{x}_t$,后面我们会看到它就是我们要找的纯粹是$\boldsymbol{x}_t$的函数!第四个等号,就是利用泰勒展开公式将两项重新合并起来。
现在,我们得到了
\begin{equation}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}}\left[\phi(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})\right] = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t}\left[\phi\left(\boldsymbol{x}_t + \Delta t\,\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t}\left[\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}\right]\right)\right]\end{equation}
对于任意测试函数$\phi$成立,所以这意味着
\begin{equation}\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} = \boldsymbol{x}_t + \Delta t\,\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t}\left[\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}\right]\quad\Rightarrow\quad\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t}\left[\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}\right]\label{eq:real-ode}\end{equation}
就是我们要寻找的ODE。根据
\begin{equation}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}}[\boldsymbol{x}] = \mathop{\text{argmin}}_{\boldsymbol{\mu}}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}}\left[\Vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}\Vert^2\right]\label{eq:mean-opt}\end{equation}
式$\eqref{eq:real-ode}$的右端正好是训练目标$\eqref{eq:objective}$的最优解,这就证明了优化训练目标$\eqref{eq:objective}$得出的方程$\eqref{eq:s-ode}$的确实现了分布$p_T(\boldsymbol{x}_T)$、$p_0(\boldsymbol{x}_0)$之间的变换。
读后感受 #
关于“直观结果”中的构建扩散ODE的思路,原论文的作者还写了篇知乎专栏文章《[ICLR2023] 扩散生成模型新方法:极度简化,一步生成》,大家也可以去读读。读者也是在这篇专栏中首次了解到该方法的,并深深为之震惊和叹服。
如果读者读过《生成扩散模型漫谈(十四):构建ODE的一般步骤(中)》,那么就会更加体会到该思路的简单直接,也更能理解笔者为何如此不吝赞美之词。不怕大家笑话,笔者在写“中篇”(当时的“下篇”)的时候,是考虑过式$\eqref{eq:track}$所描述的轨迹的,但是在当时的框架下,根本没法推演下去,最后以失败告终,当时完全想不到它能以一种如此简捷的方式进行下去。所以,写这个扩散ODE系列真的让人有种“人比人,气死人”的感觉,“中篇”、“下篇”就是自己智商被一次次“降维打击”的最好见证。
读者可能想问,还会不会有更简单的第四篇,让笔者再一次经历降维打击?可能有,但概率真的很小了,真的很难想象会有比这更简单的构建步骤了。“直观结果”一节看上去很长,但实际步骤就只有两步:1、随便选择一个渐变轨迹;2、用$\boldsymbol{x}_t$的函数去逼近渐变轨迹对$t$的导数。就这样的寥寥两步,还能怎么再简化呢?甚至说,“证明过程”一节的推导也是相当简单的了,虽然写得长,但本质就是求个导,然后变换一下求期望的分布,比前两篇的过程简单了可不止一丁半点。总而言之,亲自完成过ODE扩散的前两篇推导的读者就能深刻感觉到,这一篇的思路是真的简单,简单到让我们觉得已经无法再简单了。
此外,除了提供构建扩散ODE的简单思路外,原论文还讨论了Rectified Flow跟最优传输之间的联系,以及如何用这种联系来加速采样过程,等等。但这部分内容并不是本文主要关心的,所以等以后有机会我们再讨论它们。
文章小结 #
本文介绍了Rectified Flow一文中提出的构建ODE式扩散模型的一种极其简单直观的思路,并给出了自己的证明过程。
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如果您需要引用本文,请参考:
苏剑林. (Feb. 23, 2023). 《生成扩散模型漫谈(十七):构建ODE的一般步骤(下) 》[Blog post]. Retrieved from https://www.spaces.ac.cn/archives/9497
@online{kexuefm-9497,
title={生成扩散模型漫谈(十七):构建ODE的一般步骤(下)},
author={苏剑林},
year={2023},
month={Feb},
url={\url{https://www.spaces.ac.cn/archives/9497}},
}
December 7th, 2023
[...]本文我们聚焦于ODE。在本系列的(六)、(十二)、(十四)、(十五)、(十七)等博客中,我们已经推导过ODE与扩散模型的联系,本文则对扩散ODE的采样加速做简单介绍,并重点介绍一种巧妙地利用“中值定理”思想的新颖采样加速方案“AMED”。[...]
April 26th, 2024
想请教一下苏神,这里预测$x_0$和预测$v_t$有什么本质上的区别吗?我个人理解是无区别,因为$v_t=\frac{x_t-x_0}{t}$,而模型的输入本身包含$x_t,t$,两者应该只差一个转换的过程。我自己的实验结果表明,预测$x_0$的效果会更好,这点倒是和@o_glay|comment-21780的实验结果保持一致。
数学上应该没区别,实际中时好时坏。
EDM里面的input output scaling也相当于一种混合的training target
好的,感谢!
如果Loss都是直接用$\Vert\cdot\Vert^2$(不加任何$\lambda$)的话,两者差一个跟$t$有关的比例常数,由于跟$t$有关,所以这个常数的差异不能直接忽略。至于哪个更好,我倾向于要具体问题具体分析,我暂时没有通用的答案。
好的,感谢苏神解惑。
May 11th, 2024
发现有个跟rectified flow同期的工作,虽然思路的出发点不同,最后得到了一样的优化目标,感觉也蛮有意思的 解释更加的直观 不需要任何ODE知识 当然他没有做reflow,理论上没有rectified flow完备 https://ggx-research.github.io/publication/2023/05/10/publication-iadb.html
看上去结果差不多,推导比较依赖想象力,理论方面确实差点意思,感谢分享~
July 8th, 2024
您好,这里的证明过程我感觉逻辑上有点别扭:
我试图总结你的证明为:
存在ODE过程: $\frac{dx_t}{dt} = \frac{\partial \varphi_t(x_0, x_t)}{\partial t}$, Rectified Flow用$s_{\theta}$逼近$\frac{\partial \varphi_t(x_0, x_t)}{\partial t}$. 本文希望证明近似的欧拉过程$\frac{dx_t}{dt} = s_{\theta}(x_t)$能够实现$p_0(x_0)$到$p_T(x_T)$的分布变换.
为了证明这个结论, 本文将$x_t = \varphi_t(x_0, x_T)$代入到了测试函数法, 得到了该ODE过程的离散形式: $x_{t+\Delta t} = x_t + \Delta t \mathbb E[\frac{\partial \varphi_t}{\partial t}]$,从而证明$s_\theta$的最优化目标和通过测试函数法得到的是一致的.
我这里觉得奇怪的点在于: 给定$x_t = \varphi_t(x_0, x_T)$,我们简单的两边微分即可得 $\frac{dx_t}{dt} = \frac{\partial \varphi_t(x_0, x_t)}{\partial t}$. 这已经是一个ODE过程的表达形式,该ODE将$x_0$的分布转移到$x_T$的分布. 为什么我们还要通过测试函数法如此麻烦的得到$x_t = \varphi_t(x_0, x_T)$的离散形式,才能判定$\frac{\partial \varphi_t}{\partial t}$是我们的优化目标?
希望得到您的解答,十分感谢!
现在我们是有一个方程
$$\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$$
我们需要证明它满足
$$\begin{equation}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}}\left[\phi(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})\right] = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_t}\left[\phi\left(\boldsymbol{x}_t + \Delta t\,\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\right)\right]\end{equation}$$
你说的ODE
$$\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = \frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_T)}{\partial t}$$
一来这不是一个实际推理可用的ODE,二来实际上我们没有这个ODE,这个ODE只是我们理解过程中的一步,不借用这个ODE同样可以导出后面的结果。我反倒是不大明白你说这个ODE成立然后就不用这么麻烦证明的逻辑是什么?
多谢您的回复,我的观点是这样的:
(1) 我们是希望证明$\frac{d x_t}{dt} = s_\theta(x_t, t)$满足Eq.18. 但是在Eq.11$\to$Eq.15的证明过程其实没有用到$s_{\theta}(x_t, t)$的任何信息,最终是通过验证包含$x_t$的测试函数满足Eq.15得到$x_{t+\Delta t} = x_t + \Delta t \mathbb E_{x_0|x_t}[\frac{\partial\varphi_t}{\partial t}] \to \frac{d x_t}{dt} = \mathbb E_{x_0|x_t}[\frac{\partial \varphi_t}{\partial t}]$
(2) 证明过程中, 实际用到了$\varphi_t = x(t)$ 和 $\varphi_(t+\Delta t) = x(t+\Delta t)$两个条件
(如Eq.13第一个等式用到了$\varphi_(t+\Delta t) = x(t+\Delta t)$).
由这两个条件得到:$\frac{d(x(t))}{dt} = \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{\varphi(t+\Delta t) - \varphi(t)}{\Delta t} = \frac{\partial \varphi_t}{\partial t}$
这就是我上面所说的 "这个ODE成立然后不用这么麻烦".
也就是在证明过程中我认为用到了$\varphi_t = x(t)$ 和 $\varphi_(t+\Delta t) = x(t+\Delta t)$两个条件,
其实也就隐含了$\frac{d(x(t))}{dt} = \frac{\partial \varphi_t}{\partial t}$这个ODE方程成立.
既然$\frac{d(x(t))}{dt} = \frac{\partial \varphi_t}{\partial t}$这个ODE成立,那复用之前的结论: 该ODE将$x_0$的分布转移到$x_T$的分布.
不知道我的表述是否清楚,可能中间存在某些想当然的误区,还请您指正,感谢!
本文的过程,是直接从$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}}\left[\phi(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})\right]$出发,泰勒展开然后得到最后的方程是
$$\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t}\left[\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}\right]$$
然后发现$$\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$$
中的$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$正好是$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t}\left[\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}\right]$,从而完成证明,当然这里更像是一个充分性证明,而如果将$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)=\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t}\left[\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}\right]$代入进行验证,则更像是必要性证明。证明的篇幅看上去有点长,但实际上就两个公式,只不过步骤写得细了点。
对于你的理解,我的问题在于,成立
$$\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = \frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}$$
之后,是怎么过渡到
$$\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0|\boldsymbol{x}_t}\left[\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}_t}{\partial t}\right]$$
的?或者怎么过渡到$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$的?看上去你没有提到这一步骤。
我完全认同您关于上述的充分性证明 & 必要性证明的观点,也觉得本文的证明是没有问题的,之前唯一的疑惑是怀疑证明过程中用到了更高阶的已知条件($\frac{d x_t}{dt} = \frac{\partial \varphi_t}{\partial t}$).
你说的怎么从$\frac{d x_t}{dt} = \frac{\partial \varphi_t}{\partial t}$过渡到$\frac{d x_t}{dt} = \mathbb E[\frac{\partial \varphi_t}{\partial t}]$确实是我没有考虑到的问题,这应该是导致不能直接从$\frac{d x_t}{dt} = \frac{\partial \varphi_t}{\partial t}$推到结论的一步.
不过我现在有一个新的问题.. 为什么我们可以同时得到两个ODE:
$\frac{d x_t}{dt} = \frac{\partial \varphi_t}{\partial t}$ # 1
$\frac{d x_t}{dt} = \mathbb E[\frac{\partial \varphi_t}{\partial t}]$ # 2
#1 是从$x_t = \varphi(t)$ 和$x_{t+\Delta t} = \varphi(t+\Delta t)$得出的
#2 是从测试函数导出的.
这两个ODE都对应于同一个随机过程$x_0 \to x_t$吗?
如果是的话,为什么同一个随机过程能对应两个不同形式的ODE,
如果不是的话,那是哪一个ODE的推导出现了问题呢?
这两个ODE仅仅是起点相同、终点相同,过程完全不相同。存在多个不同的ODE,满足起终点相同的条件不是很正常的吗?另外就是ODE描述的是确定性的运动,它描述的不是随机过程。