在矩阵压缩这个问题上,我们通常有两个策略可以选择,分别是低秩化稀疏化。低秩化通过寻找矩阵的低秩近似来减少矩阵尺寸,而稀疏化则是通过减少矩阵中的非零元素来降低矩阵的复杂性。如果说SVD是奔着矩阵的低秩近似去的,那么相应地寻找矩阵稀疏近似的算法又是什么呢?

接下来我们要学习的是论文《Monarch: Expressive Structured Matrices for Efficient and Accurate Training》,它为上述问题给出了一个答案——“Monarch矩阵”,这是一簇能够分解为若干置换矩阵与稀疏矩阵乘积的矩阵,同时具备计算高效且表达能力强的特点,论文还讨论了如何求一般矩阵的Monarch近似,以及利用Monarch矩阵参数化LLM来提高LLM速度等内容。

值得指出的是,该论文的作者也正是著名的Flash Attention的作者Tri Dao,其工作几乎都在致力于改进LLM的性能,这篇Monarch也是他主页上特意展示的几篇论文之一,单从这一点看就非常值得学习一番。

SVD回顾 #

首先我们来简单回顾一下SVD(奇异值分解)。对于矩阵$n\times m$大小的矩阵$A$,SVD将它分解为
\begin{equation}A = U\Sigma V\end{equation}
其中$U,V$分别是形状为$n\times n$、$m\times m$的正交矩阵,$\Sigma$则是$n\times m$的对角矩阵,对角线元素非负且从大到小排列。当我们只保留$\Sigma$的前$r$个对角线元素时,就得到了$A$的一个秩不超过$r$的近似分解:
\begin{equation}A \approx U_{[:,:r]}\Sigma_{[:r,:r]} V_{[:r,:]}\end{equation}
这里下标就按照Python的切片来执行,所以$U_{[:,:r]}$的形状为$n\times r$、 $\Sigma_{[:r,:r]}$的形状为$r\times r$以及$V_{[:r,:]}$的形状为$r\times m$,这意味着$U_{[:,:r]}\Sigma_{[:r,:r]} V_{[:r,:]}$的秩至多为$r$。

特别地,由SVD得到的如上低秩近似,正好是如下优化问题的精确解:
\begin{equation}U_{[:,:r]}\Sigma_{[:r,:r]} V_{[:r,:]} = \mathop{\text{argmin}}_{rank(B)\leq r} \Vert A - B\Vert_F^2\end{equation}
其中$\Vert\cdot\Vert_F^2$是矩阵的Frobenius范数的平方,即矩阵每个元素的平方和。也就是说,在Frobenius范数下,矩阵$A$的最优$r$秩近似就是$U_{[:,:r]}\Sigma_{[:r,:r]} V_{[:r,:]}$,该结论被称为“Eckart-Young-Mirsky定理”。也正是因为这个结论,我们在文章开头才说“SVD是奔着矩阵的低秩近似去的”。

SVD可以展开讨论的内容非常多,甚至写成一本书也不为过,这里就不再继续深入了。最后说一下,SVD的计算复杂度是$\mathcal{O}(nm\cdot\min(m,n))$,因为我们至少要对$A^{\top} A$或$A A^{\top}$之一做特征值分解。如果我们确定做SVD是为了寻找$r$秩近似,那么复杂度可以有所降低,这便是Truncated SVD。

Monarch矩阵 #

低秩分解应用非常广,但它未必总是符合我们的需求,比如可逆方阵的低秩近似必然不可逆,这意味着低秩近似不适合需要求逆的场景。此时另一个选择是稀疏近似,稀疏矩阵通常能够保证秩不退化。

注意稀疏和低秩并无必然联系,比如单位阵就是很稀疏的矩阵,但它可逆(满秩)。寻找矩阵的稀疏近似并不难,比如将绝对值最大的$k$个元素外的所有元素都置零就是一个很朴素的稀疏近似,但问题是它通常不实用,所以难在寻找实用的稀疏近似。所谓“实用”,指的是保留足够表达能力或近似程度的同时,实现一定程度的稀疏化,并且这种稀疏化具有适当的结构,有助于矩阵运算(比如乘法、求逆)的提速。

Monarch矩阵正是为此而生,假设$n=m^2$是一个平方数,那么Monarch矩阵是全体$n$阶矩阵的一个子集,我们记为$\mathcal{M}^{(n)}$,它定义为如下形式的矩阵的集合:
\begin{equation}M = PLPR\end{equation}
其中$P$是$n\times n$的置换矩阵(正交矩阵),$L,R$是分块对角矩阵。下面我们来逐一介绍它们。

置换矩阵 #

置换矩阵$P$实现的效果是将向量$[x_1,x_2,\cdots,x_n]$置换成新的向量
\begin{equation}[x_1, x_{1+m}, \cdots , x_{1+(m−1)m}, x_2, x_{2+m}, \cdots , x_{2+(m−1)m}, \cdots , x_m, x_{2m}, \cdots , x_n]\end{equation}
当然这样写大家可能依然觉得迷糊,然事实上用代码实现非常简单:

Px = x.reshape(m, m).transpose().reshape(n)

如下图所示:

转置矩阵P的示意图

转置矩阵P的示意图

之前做CV的读者可能会觉得这个操作有点熟悉,它其实就是ShuffleNet中的“Shuffle”操作,这样对向量先reshape然后transpose最后再reshape回来的组合运算,起到一种“伪Shuffle”的效果,它也可以视为$m$进制的“位反转排序”。很明显,这样的操作做两次,所得向量将复原为原始向量,所以我们有$P^2=I$,所以$P^{-1}=P^{\top}=P$。

分块对角 #

说完$P$,我们再来说$L,R$,它们也是$n\times n$大小的矩阵,不过它们还是$m\times m$的分块对角矩阵,每个块是$m\times m$大小,如下图所示:

Monarch矩阵形式M=PLPR

Monarch矩阵形式M=PLPR

当$n$足够大时,$L,R$中零的数量占主导,所以$L,R$都是稀疏矩阵,即Monarch矩阵是具备稀疏特性的矩阵分解形式。由于$P$是固定的,所以$PLPR$中的可变元素就来源于$L,R$的非零元素,因此,矩阵$M$虽然是$n\times n$的矩阵,但它实际自由参数不超过$2m^3=2n^{1.5}$个。从$1.5$这个数字我们就可以窥见Monarch矩阵的意图了,它希望将原本需要平方复杂度的运算,通过Monarch矩阵近似降低到1.5次方复杂度。

效率简析 #

那么Monarch矩阵能否达到这个目的呢?换句话说Monarch矩阵能否达到前面说的“实用”标准?表达能力方面我们后面再谈,我们先看计算高效方面。

比如“矩阵-向量”乘法,标准的复杂度是$\mathcal{O}(n^2)$,但如果是Monarch矩阵的话我们有$Mx = P(L(P(Rx)))$,由于乘$P$只是简单的reshape和transpose,所以它几乎不占计算量,主要计算量来源于$L$或$R$跟一个向量相乘。由于$L,R$的分块对角矩阵的特点,我们可以将向量为$m$组,继而转化为$m$个$m\times m$的矩阵与$m$维向量相乘,总复杂度是$2m\times\mathcal{O}(m^2)=\mathcal{O}(2n^{1.5})$,比$\mathcal{O}(n^2)$更低。

再比如求逆,我们考虑$M^{-1}x$,$n$阶矩阵求逆的标准复杂度是$\mathcal{O}(n^3)$,但对于Monarch矩阵我们有$M^{-1} x =R^{-1}PL^{-1}P x$,主要计算量来源于$L^{-1}$、$R^{-1}$以及对应的“矩阵-向量”乘法,由于$L,R$都是分块对角阵,我们只需要分别对每个对角线上的块矩阵求逆,也就是共有$2m$个$m\times m$的矩阵求逆,复杂度是$2m\times\mathcal{O}(m^3)=\mathcal{O}(2n^2)$,同样低于标准的$\mathcal{O}(n^3)$。要单独写出$M^{-1}$也是可以的,但需要利用到后面的恒等式$\eqref{eq:high-m-lr}$。

所以结论就是,由于$P$乘法几乎不占计算量以及$L,R$是分块对角矩阵的特点,$n$阶Monarch矩阵相关运算,基本上可以转化为$2m$个$m\times m$矩阵的独立运算,从而降低总的计算复杂度。所以至少计算高效这一点,Monarch矩阵是没有问题的,并且由于$L,R$的非零元素本身已经方形结构,实现上也很方便,可以充分利用GPU进行计算,不会带来不必要的浪费。

Monarch分解 #

确认Monarch矩阵的有效性后,接下来应用方面的一个关键问题就是:给定任意的$n=m^2$阶矩阵$A$,如何求它的Monarch近似呢?跟SVD类似,我们定义如下优化问题
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{M\in\mathcal{M}^{(n)}} \Vert A - M\Vert_F^2\end{equation}
非常幸运的是,这个问题有一个复杂度不超过$\mathcal{O}(n^{2.5})$的求解算法,这比SVD的$\mathcal{O}(n^3)$还要更高效一些。

高维数组 #

理解这个算法的关键一步,是将Monarch相关的矩阵、向量都转化为更高维数组的形式。具体来说,Monarch矩阵$M$本来是一个二维数组,每个元素记为$M_{i,j}$,表示该元素位于第$i$行、第$j$列,现在我们要按照分块矩阵的特点,将它等价地表示为四维数组,每个元素记为$M_{i,j,k,l}$,表示第$i$大行、第$j$小行、第$k$大列、第$l$小列的元素,如下图所示:

将Monarch相关矩阵/向量视为高维数组

将Monarch相关矩阵/向量视为高维数组

虽然说起来挺费劲的,但事实上代码就一行

M.reshape(m, m, m, m)

同理,$n$维(列)向量$x$也被转为$m\times m$的二维数据,代码也是一行x.reshape(m, m)。剩下的$L,R$自然是表示为$m\times m\times m$的三维数组,如$L_{i,j,k}$表示第$i$块、第$j$小行、第$k$小列的元素,这本来也是$L,R$最高效的储存方式,但为了统一处理,我们也可以用Kronecker delta符号将它们升到四维,比如$L_{i,j,k,l} = \delta_{i,k}L_{i,j,l}$、$R_{i,j,k,l} = \delta_{i,k}R_{i,j,l}$。

新恒等式 #

接下来,我们将推出$M$与$L,R$的一个新关系式。首先,可以证明在二维表示中,矩阵$P$与向量$x$的乘法变得更简单了,结果就是$x$的转置,即$(Px)_{i,j} = x_{j,i}$,所以我们有$(PR)_{i,j,k,l} = R_{j,i,k,l} = \delta_{j,k}R_{j,i,l}$;接着,两个矩阵的乘法,在四维表示之下求和指标也有两个,所以
\begin{equation}(L P R)_{\alpha,\beta,k,l} = \sum_{i,j} L_{\alpha,\beta,i,j}(PR)_{i,j,k,l} = \sum_{i,j} \delta_{\alpha, i} L_{\alpha,\beta,j}\delta_{j,k}R_{j,i,l} = L_{\alpha,\beta,k}R_{k,\alpha,l}\end{equation}
最后就是$(P L P R)_{\alpha,\beta,k,l}=L_{\beta,\alpha,k}R_{k,\beta,l}$,将$\alpha,\beta$换回$i,j$得到$(P L P R)_{i,j,k,l}=L_{j,i,k}R_{k,j,l}$,又因为$M=PLPR$,所以有
\begin{equation}M_{i,j,k,l} = L_{j,i,k}R_{k,j,l}\label{eq:high-m-lr}\end{equation}
从这个等式可以看出,当我们固定一对$(j,k)$时,左边是一个子矩阵,右边是两个向量的外积,这意味着如果我们要给矩阵$A$找Monarch近似,只需要将$A$按照同样方式转为四维数组,并固定一对$(j,k)$,那么问题就变成了找对应子矩阵的“秩-1近似”!换句话说,有了这个恒等式之后,给矩阵$A$找Monarch近似可以转化为给$m^2$个子矩阵找“秩-1近似”,这可以用SVD完成,每个复杂度不超过$\mathcal{O}(m^3)$,所以总复杂度不超过$m^2\times\mathcal{O}(m^3) = \mathcal{O}(n^{2.5})$。

参考实现 #

笔者简单用Numpy写的参考实现如下:

import numpy as np

def monarch_factorize(A):
    M = A.reshape(m, m, m, m).transpose(1, 2, 0, 3)
    U, S, V = np.linalg.svd(M)
    L = (U[:, :, :, 0] * S[:, :, :1]**0.5).transpose(0, 2, 1)
    R = (V[:, :, 0] * S[..., :1]**0.5).transpose(1, 0, 2)
    return L, R

def convert_3D_to_2D(LR):
    X = np.zeros((m, m, m, m))
    for i in range(m):
        X[i, i] += LR[i]
    return X.transpose(0, 2, 1, 3).reshape(n, n)

m = 8
n = m**2
A = np.where(np.random.rand(n, n) > 0.8, np.random.randn(n, n), 0)

L, R = monarch_factorize(A)
L = convert_3D_to_2D(L)
R = convert_3D_to_2D(R)
PL = L.reshape(m, m, n).transpose(1, 0, 2).reshape(n, n)
PR = R.reshape(m, m, n).transpose(1, 0, 2).reshape(n, n)

U, S, V = np.linalg.svd(A)

print('Monarch error:', np.square(A - PL.dot(PR)).mean())
print('Low-Rank error:', np.square(A - (U[:, :m] * S[:m]).dot(V[:m])).mean())

笔者简单对比了一下SVD求出的秩-$m$近似(此时低秩近似跟Monarch近似参数量相当),发现如果是完全稠密的矩阵,那么秩-$m$近似的平方误差往往优于Monarch近似(但不多),这也是意料之中,因为从Monarch近似的算法就可以看出它本质上也是个定制版的SVD。不过,如果待逼近矩阵是稀疏矩阵时,那么Monarch近似的误差往往更优,并且越稀疏越优。

Monarch推广 #

到目前为止,我们约定所讨论的矩阵都是$n$阶方阵,并且$n=m^2$是一个平方数。如果说方阵这个条件尚能接受,那么$n=m^2$这个条件终究还是太多限制了,因此有必要至少将Monarch矩阵的概念推广到非平方数$n$。

非平方阶 #

为此,我们先引入一些记号。假设$b$是$n$的一个因数,$\mathcal{BD}^{(b,n)}$表示全体$\frac{n}{b}\times \frac{n}{b}$大小的分块对角矩阵,其中每个块大小是$b\times b$的子矩阵,很明显它是前面$L,R$的一般化,按照这个记号我们可以写出$L,R\in\mathcal{BD}^{(\sqrt{n},n)}$。此外,我们还要一般化置换矩阵$P$,前面我们说了$P$的实现是Px = x.reshape(m, m).transpose().reshape(n),现在我们一般化为Px = x.reshape(n // b, b).transpose().reshape(n),记为$P_{(\frac{n}{b},b)}$。

有了这些记号,我们可以定义一般的Monarch矩阵(原论文的附录):
\begin{equation}\mathcal{M}^{(b,n)} = \Bigg\{M = P_{(b,\frac{n}{b})} L P_{(\frac{n}{b},b)} R\,\Bigg|\, L\in\mathcal{BD}^{(\frac{n}{b},n)}, R\in\mathcal{BD}^{(b,n)} \Bigg\}\end{equation}
示意图如下:

将Monarch矩阵推广到非平方阶方阵

将Monarch矩阵推广到非平方阶方阵

前面所定义的Monarch矩阵,在这里可以简单记为$\mathcal{M}^{(n)} = \mathcal{M}^{(\sqrt{n},n)}$。不难计算,$L$的非零元素至多有$\frac{n^2}{b}$个,$R$的非零元素至多有$nb$个,加起来是$\frac{n^2}{b} + nb$,它在$b=\sqrt{n}$取得最小值,所以$b=\sqrt{n}$属于最稀疏的一个例子。

只要形式 #

可能读者会困惑,为什么要区分$L\in\mathcal{BD}^{(\frac{n}{b},n)}, R\in\mathcal{BD}^{(b,n)}$,统一用一个不行吗?事实上,这样设计是为了保持高维表示下式$\eqref{eq:high-m-lr}$依然成立,从而可以推出类似的分解算法(请读者补充一下),以及可以从理论上保证它的表达能力。

如果我们不在意这些理论细节,只希望构造一个带有稀疏特性的矩阵参数化方式,那么就可以更灵活地对Monarch矩阵进行推广了,比如
\begin{equation}M = \left(\prod_{i=1}^k P_i B_i\right)P_0\end{equation}
其中$B_1,B_2,\cdots,B_k \in \mathcal{BD}^{(b,n)}$,$P_0,P_1,\cdots,P_k$都是置换矩阵,最后多乘一个$P_0$是出于对称性的考虑,并不是必须的,如果你觉得有必要,还可以给每个$B_i$选择不同的$b$,即$B_i\in \mathcal{BD}^{(b_i,n)}$。

甚至,你可以结合低秩分解的形式,推广到非方阵的块矩阵,如下图:

结合了低秩和稀疏的类Monarch矩阵参数化

结合了低秩和稀疏的类Monarch矩阵参数化

基于这个类比,我们还可以进一步将Monarch矩阵的概念推广到非方阵。总之,如果只是需要一种类似Monarch矩阵的稀疏化结构矩阵,而不在意理论细节,那么结果就仅限于我们的想象力了。

应用例子 #

目前看来,Monarch矩阵最大的特点就是对矩阵乘法比较友好,所以最大的用途无非就是替换全连接层的参数矩阵,从而提高全连接层的效率,这也是原论文实验部份的主要内容。

我们又可以将其分为“事前处理”和“事后处理”两类:“事前处理”就是在训练模型之前就将全连接层的参数矩阵改为Monarch矩阵,这样训练和推理都能提速,训练出来的模型也最贴合Monarch矩阵;“事后处理”就是已经有一个训练好的模型,此时我们可以用Monarch分解给全连接层的参数矩阵找一个Monarch近似,然后替换掉原来的矩阵,必要时再简单微调一下,以此提高原始模型的微调效率或推理效率。

除了替换全连接层外,《Monarch Mixer: A Simple Sub-Quadratic GEMM-Based Architecture》还讨论了更极端的做法——作为一个Token-Mixer模块直接替换Attention层。不过就笔者看来,Monarch-Mixer并不算太优雅,因为它跟MLP-Mixer一样,都是用一个可学的矩阵替换掉Attention矩阵,只不过在Monarch-Mixer这里换成了Monarch矩阵。这样的模式学到的是静态的注意力,个人对其普适性是存疑的。

最后,对如今的LLM来说,Monarch矩阵还可以用来构建参数高效的微调方案(Parameter-Efficient Fine-Tuning,PEFT)。我们知道,LoRA是从低秩分解出发设计的,既然低秩和稀疏是两条平行的路线,那么作为稀疏的代表作Monarch矩阵不应该也可以用来构建一种PEFT方案?Google了一下,还真有这样做的,论文名是《MoRe Fine-Tuning with 10x Fewer Parameters》,还很新鲜,是ICML2024的Workshop之一。

蝶之帝王 #

最后再简单说说Monarch矩阵的拟合能力。“Monarch”意为“帝王”、“君主”,取自“Monarch Butterfly(帝王蝴蝶)”一词,之所以这样命名,是因为它对标的是更早的“Butterfly矩阵”。

什么是Butterfly矩阵?这个说起来还真有点费劲。Butterfly矩阵是一系列($\log_2 n$个)Butterfly因子矩阵的乘积,而Butterfly因子矩阵则是一个分块对角矩阵矩阵,其对角线上的矩阵叫做Butterfly因子(没有“矩阵”两个字),Butterfly因子则是一个$2\times 2$的的分块矩阵,它的每个块矩阵则是一个对角阵(套娃结束)。如下图所示:

Butterfly矩阵示意图

Butterfly矩阵示意图

准确的Butterfly矩阵定义大家自行看论文就好,这里不详细展开。Butterfly这个名字来源于作者觉得每个Butterfly因子的形状像Butterfly(蝴蝶),当然像不像大家见仁见智,反正作者觉得像。从字面上来看,“Monarch Butterfly”比“Butterfly”更高级(毕竟是“帝王”),这暗示着Monarch矩阵比Butterfly矩阵更强。确实如此,Monarch论文附录证明了,不管$b$取什么,$\mathcal{M}^{(b,n)}$都能覆盖所有的$n$阶Butterfly矩阵,并且$n > 512$时$\mathcal{M}^{(b,n)}$严格大于全体$n$阶Butterfly矩阵集合,换言之Butterfly矩阵能做到的Monarch矩阵也能做到,反之未必。

我们也可以从“矩阵-向量”乘法复杂度来直观感知Monarch矩阵表达能力。我们知道,一个$n\times n$矩阵乘以$n$维向量的标准复杂度是$\mathcal{O}(n^2)$,但对于某些结构化矩阵可以更低,比如傅立叶变换可以做到$\mathcal{O}(n\log n)$,Butterfly矩阵也是$\mathcal{O}(n\log n)$,Monarch矩阵则是$\mathcal{O}(n^{1.5})$,所以Monarch矩阵“应该”是不弱于Butterfly矩阵的。当然,Butterfly矩阵也有它的好处,比如它的逆和行列式都比较好算,这对于Flow模型等需要求逆和行列式的场景更为方便。

文章小结 #

本文介绍了Monarch矩阵,这是Tri Dao前两年提出的一簇能够分解为转置矩阵与稀疏矩阵乘积的矩阵,具备计算高效的特点(众所周知,Tri Dao是高性能的代名词),可以用来为全连接层提速、构建参数高效的微调方式等。

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苏剑林. (Jul. 24, 2024). 《Monarch矩阵:计算高效的稀疏型矩阵分解 》[Blog post]. Retrieved from https://www.spaces.ac.cn/archives/10249

@online{kexuefm-10249,
        title={Monarch矩阵:计算高效的稀疏型矩阵分解},
        author={苏剑林},
        year={2024},
        month={Jul},
        url={\url{https://www.spaces.ac.cn/archives/10249}},
}