到目前为止,笔者给出了生成扩散模型DDPM的两种推导,分别是《生成扩散模型漫谈(一):DDPM = 拆楼 + 建楼》中的通俗类比方案和《生成扩散模型漫谈(二):DDPM = 自回归式VAE》中的变分自编码器方案。两种方案可谓各有特点,前者更为直白易懂,但无法做更多的理论延伸和定量理解,后者理论分析上更加完备一些,但稍显形式化,启发性不足。

贝叶斯定理(来自维基百科)

贝叶斯定理(来自维基百科)

在这篇文章中,我们再分享DDPM的一种推导,它主要利用到了贝叶斯定理来简化计算,整个过程的“推敲”味道颇浓,很有启发性。不仅如此,它还跟我们后面将要介绍的DDIM模型有着紧密的联系。

模型绘景 #

再次回顾,DDPM建模的是如下变换流程:
\begin{equation}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}_0 \rightleftharpoons \boldsymbol{x}_1 \rightleftharpoons \boldsymbol{x}_2 \rightleftharpoons \cdots \rightleftharpoons \boldsymbol{x}_{T-1} \rightleftharpoons \boldsymbol{x}_T = \boldsymbol{z}\end{equation}
其中,正向就是将样本数据$\boldsymbol{x}$逐渐变为随机噪声$\boldsymbol{z}$的过程,反向就是将随机噪声$\boldsymbol{z}$逐渐变为样本数据$\boldsymbol{x}$的过程,反向过程就是我们希望得到的“生成模型”。

正向过程很简单,每一步是
\begin{equation}\boldsymbol{x}_t = \alpha_t \boldsymbol{x}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t,\quad \boldsymbol{\varepsilon}_t\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})\end{equation}
或者写成$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t-1})=\mathcal{N}(\boldsymbol{x}_t;\alpha_t \boldsymbol{x}_{t-1},\beta_t^2 \boldsymbol{I})$。在约束$\alpha_t^2 + \beta_t^2 = 1$之下,我们有
\begin{equation}\begin{aligned}
\boldsymbol{x}_t =&\, \alpha_t \boldsymbol{x}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t \\
=&\, \alpha_t \big(\alpha_{t-1} \boldsymbol{x}_{t-2} + \beta_{t-1} \boldsymbol{\varepsilon}_{t-1}\big) + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t \\
=&\,\cdots\\
=&\,(\alpha_t\cdots\alpha_1) \boldsymbol{x}_0 + \underbrace{(\alpha_t\cdots\alpha_2)\beta_1 \boldsymbol{\varepsilon}_1 + (\alpha_t\cdots\alpha_3)\beta_2 \boldsymbol{\varepsilon}_2 + \cdots + \alpha_t\beta_{t-1} \boldsymbol{\varepsilon}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t}_{\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, (1-\alpha_t^2\cdots\alpha_1^2)\boldsymbol{I})}
\end{aligned}\end{equation}
从而可以求出$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)=\mathcal{N}(\boldsymbol{x}_t;\bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0,\bar{\beta}_t^2 \boldsymbol{I})$,其中$\bar{\alpha}_t = \alpha_1\cdots\alpha_t$,而$\bar{\beta}_t = \sqrt{1-\bar{\alpha}_t^2}$。

DDPM要做的事情,就是从上述信息中求出反向过程所需要的$p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t)$,这样我们就能实现从任意一个$\boldsymbol{x}_T=\boldsymbol{z}$出发,逐步采样出$\boldsymbol{x}_{T-1},\boldsymbol{x}_{T-2},\cdots,\boldsymbol{x}_1$,最后得到随机生成的样本数据$\boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{x}$。

请贝叶斯 #

下面我们请出伟大的贝叶斯定理。事实上,直接根据贝叶斯定理我们有
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t) = \frac{p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t-1})p(\boldsymbol{x}_{t-1})}{p(\boldsymbol{x}_t)}\label{eq:bayes}\end{equation}
然而,我们并不知道$p(\boldsymbol{x}_{t-1}),p(\boldsymbol{x}_t)$的表达式,所以此路不通。但我们可以退而求其次,在给定$\boldsymbol{x}_0$的条件下使用贝叶斯定理:
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0) = \frac{p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t-1})p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_0)}{p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)}\end{equation}
这样修改自然是因为$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t-1}),p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_0),p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$都是已知的,所以上式是可计算的,代入各自的表达式得到:
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0) = \mathcal{N}\left(\boldsymbol{x}_{t-1};\frac{\alpha_t\bar{\beta}_{t-1}^2}{\bar{\beta}_t^2}\boldsymbol{x}_t + \frac{\bar{\alpha}_{t-1}\beta_t^2}{\bar{\beta}_t^2}\boldsymbol{x}_0,\frac{\bar{\beta}_{t-1}^2\beta_t^2}{\bar{\beta}_t^2} \boldsymbol{I}\right)\label{eq:p-xt-x0}\end{equation}

推导:上式的推导过程并不难,就是常规的展开整理而已,当然我们也可以找点技巧加快计算。首先,代入各自的表达式,可以发现指数部分除掉$-1/2$因子外,结果是:
\begin{equation}\frac{\Vert \boldsymbol{x}_t - \alpha_t \boldsymbol{x}_{t-1}\Vert^2}{\beta_t^2} + \frac{\Vert \boldsymbol{x}_{t-1} - \bar{\alpha}_{t-1}\boldsymbol{x}_0\Vert^2}{\bar{\beta}_{t-1}^2} - \frac{\Vert \boldsymbol{x}_t - \bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0\Vert^2}{\bar{\beta}_t^2}\end{equation}
它关于$\boldsymbol{x}_{t-1}$是二次的,因此最终的分布必然也是正态分布,我们只需要求出其均值和协方差。不难看出,展开式中$\Vert \boldsymbol{x}_{t-1}\Vert^2$项的系数是
\begin{equation}\frac{\alpha_t^2}{\beta_t^2} + \frac{1}{\bar{\beta}_{t-1}^2} = \frac{\alpha_t^2\bar{\beta}_{t-1}^2 + \beta_t^2}{\bar{\beta}_{t-1}^2 \beta_t^2} = \frac{\alpha_t^2(1-\bar{\alpha}_{t-1}^2) + \beta_t^2}{\bar{\beta}_{t-1}^2 \beta_t^2} = \frac{1-\bar{\alpha}_t^2}{\bar{\beta}_{t-1}^2 \beta_t^2} = \frac{\bar{\beta}_t^2}{\bar{\beta}_{t-1}^2 \beta_t^2}\end{equation}
所以整理好的结果必然是$\frac{\bar{\beta}_t^2}{\bar{\beta}_{t-1}^2 \beta_t^2}\Vert \boldsymbol{x}_{t-1} - \tilde{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)\Vert^2$的形式,这意味着协方差矩阵是$\frac{\bar{\beta}_{t-1}^2 \beta_t^2}{\bar{\beta}_t^2}\boldsymbol{I}$。另一边,把一次项系数拿出来是$-2\left(\frac{\alpha_t}{\beta_t^2}\boldsymbol{x}_t + \frac{\bar{\alpha}_{t-1}}{\bar{\beta}_{t-1}^2}\boldsymbol{x}_0 \right)$,除以$\frac{-2\bar{\beta}_t^2}{\bar{\beta}_{t-1}^2 \beta_t^2}$后便可以得到
\begin{equation}\tilde{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)=\frac{\alpha_t\bar{\beta}_{t-1}^2}{\bar{\beta}_t^2}\boldsymbol{x}_t + \frac{\bar{\alpha}_{t-1}\beta_t^2}{\bar{\beta}_t^2}\boldsymbol{x}_0 \end{equation}
这就得到了$p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)$的所有信息了,结果正是式$\eqref{eq:p-xt-x0}$。

去噪过程 #

现在我们得到了$p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)$,它有显式的解,但并非我们想要的最终答案,因为我们只想通过$\boldsymbol{x}_t$来预测$\boldsymbol{x}_{t-1}$,而不能依赖$\boldsymbol{x}_0$,$\boldsymbol{x}_0$是我们最终想要生成的结果。接下来,一个“异想天开”的想法是

如果我们能够通过$\boldsymbol{x}_t$来预测$\boldsymbol{x}_0$,那么不就可以消去$p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)$中的$\boldsymbol{x}_0$,使得它只依赖于$\boldsymbol{x}_t$了吗?

说干就干,我们用$\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)$来预估$\boldsymbol{x}_0$,损失函数为$\Vert \boldsymbol{x}_0 - \bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)\Vert^2$。训练完成后,我们就认为
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t) \approx p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0=\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)) = \mathcal{N}\left(\boldsymbol{x}_{t-1}; \frac{\alpha_t\bar{\beta}_{t-1}^2}{\bar{\beta}_t^2}\boldsymbol{x}_t + \frac{\bar{\alpha}_{t-1}\beta_t^2}{\bar{\beta}_t^2}\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t),\frac{\bar{\beta}_{t-1}^2\beta_t^2}{\bar{\beta}_t^2} \boldsymbol{I}\right)\label{eq:p-xt}\end{equation}
在$\Vert \boldsymbol{x}_0 - \bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)\Vert^2$中,$\boldsymbol{x}_0$代表原始数据,$\boldsymbol{x}_t$代表带噪数据,所以这实际上在训练一个去噪模型,这也就是DDPM的第一个“D”的含义(Denoising)。

具体来说,$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)=\mathcal{N}(\boldsymbol{x}_t;\bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0,\bar{\beta}_t^2 \boldsymbol{I})$意味着$\boldsymbol{x}_t = \bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t \boldsymbol{\varepsilon},\boldsymbol{\varepsilon}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})$,或者写成$\boldsymbol{x}_0 = \frac{1}{\bar{\alpha}_t}\left(\boldsymbol{x}_t - \bar{\beta}_t \boldsymbol{\varepsilon}\right)$,这启发我们将$\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)$参数化为
\begin{equation}\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t) = \frac{1}{\bar{\alpha}_t}\left(\boldsymbol{x}_t - \bar{\beta}_t \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\right)\label{eq:bar-mu}\end{equation}
此时损失函数变为
\begin{equation}\Vert \boldsymbol{x}_0 - \bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)\Vert^2 = \frac{\bar{\beta}_t^2}{\bar{\alpha}_t^2}\left\Vert\boldsymbol{\varepsilon} - \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t \boldsymbol{\varepsilon}, t)\right\Vert^2\end{equation}
省去前面的系数,就得到DDPM原论文所用的损失函数了。可以发现,本文是直接得出了从$\boldsymbol{x}_t$到$\boldsymbol{x}_0$的去噪过程,而不是像之前两篇文章那样,通过$\boldsymbol{x}_t$到$\boldsymbol{x}_{t-1}$的去噪过程再加上积分变换来推导,相比之下本文的推导可谓更加一步到位了。

另一边,我们将式$\eqref{eq:bar-mu}$代入到式$\eqref{eq:p-xt}$中,化简得到
\begin{equation}
p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t) \approx p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0=\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)) = \mathcal{N}\left(\boldsymbol{x}_{t-1}; \frac{1}{\alpha_t}\left(\boldsymbol{x}_t - \frac{\beta_t^2}{\bar{\beta}_t}\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\right),\frac{\bar{\beta}_{t-1}^2\beta_t^2}{\bar{\beta}_t^2} \boldsymbol{I}\right)\end{equation}
这就是反向的采样过程所用的分布,连同采样过程所用的方差也一并确定下来了。至此,DDPM推导完毕~提示:出于推导的流畅性考虑,本文的$\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}$跟前两篇介绍不一样,反而跟DDPM原论文一致。)

推导:将式$\eqref{eq:bar-mu}$代入到式$\eqref{eq:p-xt}$的主要化简难度就是计算
\begin{equation}\begin{aligned}\frac{\alpha_t\bar{\beta}_{t-1}^2}{\bar{\beta}_t^2} + \frac{\bar{\alpha}_{t-1}\beta_t^2}{\bar{\alpha}_t\bar{\beta}_t^2} =&\, \frac{\alpha_t\bar{\beta}_{t-1}^2 + \beta_t^2/\alpha_t}{\bar{\beta}_t^2} = \frac{\alpha_t^2(1-\bar{\alpha}_{t-1}^2) + \beta_t^2}{\alpha_t\bar{\beta}_t^2} = \frac{1-\bar{\alpha}_t^2}{\alpha_t\bar{\beta}_t^2} = \frac{1}{\alpha_t}
\end{aligned}\end{equation}

预估修正 #

不知道读者有没有留意到一个有趣的地方:我们要做的事情,就是想将$\boldsymbol{x}_T$慢慢地变为$\boldsymbol{x}_0$,而我们在借用$p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)$近似$p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t)$时,却包含了“用$\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)$来预估$\boldsymbol{x}_0$”这一步,要是能预估准的话,那就直接一步到位了,还需要逐步采样吗?

真实情况是,“用$\bar{\boldsymbol{\mu}}(\boldsymbol{x}_t)$来预估$\boldsymbol{x}_0$”当然不会太准的,至少开始的相当多步内不会太准。它仅仅起到了一个前瞻性的预估作用,然后我们只用$p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t)$来推进一小步,这就是很多数值算法中的“预估-修正”思想,即我们用一个粗糙的解往前推很多步,然后利用这个粗糙的结果将最终结果推进一小步,以此来逐步获得更为精细的解。

由此我们还可以联想到Hinton三年前提出的《Lookahead Optimizer: k steps forward, 1 step back》,它同样也包含了预估(k steps forward)和修正(1 step back)两部分,原论文将其诠释为“快(Fast)-慢(Slow)”权重的相互结合,快权重就是预估得到的结果,慢权重则是基于预估所做的修正结果。如果愿意,我们也可以用同样的方式去诠释DDPM的“预估-修正”过程~

遗留问题 #

最后,在使用贝叶斯定理一节中,我们说式$\eqref{eq:bayes}$没法直接用的原因是$p(\boldsymbol{x}_{t-1})$和$p(\boldsymbol{x}_t)$均不知道。因为根据定义,我们有
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_t) = \int p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)d\boldsymbol{x}_0\end{equation}
其中$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$是知道的,而数据分布$\tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)$无法提前预知,所以不能进行计算。不过,有两个特殊的例子,是可以直接将两者算出来的,这里我们也补充计算一下,其结果也正好是上一篇文章遗留的方差选取问题的答案。

第一个例子是整个数据集只有一个样本,不失一般性,假设该样本为$\boldsymbol{0}$,此时$\tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)$为狄拉克分布$\delta(\boldsymbol{x}_0)$,可以直接算出$p(\boldsymbol{x}_t)=p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{0})$。继而代入式$\eqref{eq:bayes}$,可以发现结果正好是$p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t,\boldsymbol{x}_0)$取$\boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{0}$的特例,即
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t) = p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{0}) = \mathcal{N}\left(\boldsymbol{x}_{t-1};\frac{\alpha_t\bar{\beta}_{t-1}^2}{\bar{\beta}_t^2}\boldsymbol{x}_t,\frac{\bar{\beta}_{t-1}^2\beta_t^2}{\bar{\beta}_t^2} \boldsymbol{I}\right)\end{equation}
我们主要关心其方差为$\frac{\bar{\beta}_{t-1}^2\beta_t^2}{\bar{\beta}_t^2}$,这便是采样方差的选择之一。

第二个例子是数据集服从标准正态分布,即$\tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)=\mathcal{N}(\boldsymbol{x}_0;\boldsymbol{0},\boldsymbol{I})$。前面我们说了$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)=\mathcal{N}(\boldsymbol{x}_t;\bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0,\bar{\beta}_t^2 \boldsymbol{I})$意味着$\boldsymbol{x}_t = \bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t \boldsymbol{\varepsilon},\boldsymbol{\varepsilon}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})$,而此时根据假设还有$\boldsymbol{x}_0\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})$,所以由正态分布的叠加性,$\boldsymbol{x}_t$正好也服从标准正态分布。将标准正态分布的概率密度代入式$\eqref{eq:bayes}$后,结果的指数部分除掉$-1/2$因子外,结果是:
\begin{equation}\frac{\Vert \boldsymbol{x}_t - \alpha_t \boldsymbol{x}_{t-1}\Vert^2}{\beta_t^2} + \Vert \boldsymbol{x}_{t-1}\Vert^2 - \Vert \boldsymbol{x}_t\Vert^2\end{equation}
跟推导$p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t,\boldsymbol{x}_0)$的过程类似,可以得到上述指数对应于
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t) = \mathcal{N}\left(\boldsymbol{x}_{t-1};\alpha_t\boldsymbol{x}_t,\beta_t^2 \boldsymbol{I}\right)\end{equation}
我们同样主要关心其方差为$\beta_t^2$,这便是采样方差的另一个选择。

文章小结 #

本文分享了DDPM的一种颇有“推敲”味道的推导,它借助贝叶斯定理来直接推导反向的生成过程,相比之前的“拆楼-建楼”类比和变分推断理解更加一步到位。同时,它也更具启发性,跟接下来要介绍的DDIM有很密切的联系。

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苏剑林. (Jul. 19, 2022). 《生成扩散模型漫谈(三):DDPM = 贝叶斯 + 去噪 》[Blog post]. Retrieved from https://www.spaces.ac.cn/archives/9164

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        title={生成扩散模型漫谈(三):DDPM = 贝叶斯 + 去噪},
        author={苏剑林},
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