集合上的一个等价关系决定了几何的一个划分,反之亦然,这直观上是不难理解的。但是,如果我要问一个有$n$个元素的有限集合,共有多少种不同的划分呢?以前感觉这也是一个很简单的问题,就没去细想,但前天抽象代数老师提到这是一个有相当难度的题目,于是研究了一下,发现里面大有文章。这里把我的研究过程简单分享一下,读者可以从中看到如何“从零到有”的过程。
以下假设有$n$个元素的有限集合为$\{1,2,\dots,n\}$,记它的划分数为$B(n)$。
前期:暴力计算
$n=3$的情况不难列出:
$$\begin{aligned}&\{\{1,2,3\}\},\{\{1,2\},\{3\}\},\{\{1,3\},\{2\}\},\\
&\{\{2,3\},\{1\}\},\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\end{aligned}$$
生成函数法与整数的分拆
By 苏剑林 | 2014-09-16 | 30764位读者 | 引用我们在高中甚至初中,都有可能遇到这样的题目:
设$x,y,z$是非负整数,问$x+y+z=2014$有多少组不同的解?(不同顺序视为不同的解)
难度稍高点,可以改为
设$x,y,z$是非负整数,$0\leq x\leq y\leq z$,问$x+y+z=2014$有多少组不同的解?
这些问题都属于整数的分拆问题(广为流传的哥德巴赫猜想也是一个整数分拆问题)。有很多不同的思路可以求解这两道题,然而,个人认为这些方法中最引人入胜的(可能也是最有力的)首推“生成函数法”。
关于生成函数,本节就不多作介绍了,如果缺乏相关基础的朋友,请先阅读相关资料了解该方法。不少数论的、离散数学的、计算机科学的书籍中,都介绍了生成函数法(也叫母函数法)。本质上讲,母函数法能有诸多应用,是因为$x^a\times x^b=x^{a+b}$这一性质的成立。
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