[欧拉数学]伯努利级数及相关级数的总结
By 苏剑林 | 2016-03-20 | 94075位读者 | 引用最近在算路径积分的时候,频繁地遇到了以下两种无穷级数:
$$\sum_n \frac{1}{n^2\pm\omega^2}\quad \text{和} \quad \prod_n \left(1\pm\frac{\omega^2}{n^2}\right)$$
当然,直接用Mathematica可以很干脆地算出结果来,但是我还是想知道为什么,至少大概地知道。
伯努利级数
当$\omega=0$的时候,第一个级数变为著名的伯努利级数
$$\sum_n \frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\dots$$
既然跟伯努利级数有关,那么很自然想到,从伯努利级数的求和入手。
小论文《欧拉数学在数列级数的妙用》
By 苏剑林 | 2013-12-26 | 24449位读者 | 引用[欧拉数学]找出严谨的答案
By 苏剑林 | 2013-09-09 | 19236位读者 | 引用在之前的一些文章中,我们已经谈到过欧拉数学。总体上来讲,欧拉数学就是具有创造性的、直觉性的技巧和方法,这些方法能够推导出一些漂亮的结果,而方法本身却并不严密。然而,在很多情况下,严密与直觉只是一步之遥。接下来要介绍的是我上学期《数学分析》期末考的一道试题,而我解答这道题的灵感来源便是“欧拉数学”。
数列${a_n}$是递增的正数列,求证:$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)$收敛等价于${a_n}$收敛。
据说参考答案给出的方法是利用数列的柯西收敛准则,我也没有仔细去看,我在探索自己的更富有直觉型的方法。这就是所谓的“I do not understand what I can not create.”。下面是我的思路。
费曼积分法(7):欧拉数学的综合
By 苏剑林 | 2013-03-27 | 35098位读者 | 引用费曼积分法(5):欧拉数学的传承
By 苏剑林 | 2013-03-24 | 22848位读者 | 引用在大学第二学期,我们的《数学分析》终于龟速地爬行到了定积分这一章节。对于一些比较复杂的定积分,我总想用自己的方法来解决它,这就重新燃起了我对“费曼积分法——积分符号内取微分”的热情。尤其是我用费曼积分法解决了几道比较有趣复杂的定积分问题时,成就感高涨,遂在此总结,与大家共勉。
这和欧拉数学有什么关系呢?之前已经提到过,欧拉数学是用一种不严谨却极具创造性的方式,给予我们对数学的介乎感性和理性的直观理解。我觉得费曼积分法也属于这个范畴内,它着眼于用一种特殊的视角解决问题,而暂时忽略掉数学严密性。在读费曼的故事中,我感觉到这种思想是贯穿他一生的研究之中的。
本文继续对费曼积分法的研究,得出一些不是很严谨的结论,为以后的应用奠下基础。
一、不成立的函数
首先我们重新考虑$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx$。这一次我们将它引入复数范畴内,考虑:
$$\int_0^{\infty}\frac{\cos x+i \sin x}{x}dx=\int_0^{\infty}\frac{e^{ix}}{x}dx$$
[欧拉数学]素数定理及加强
By 苏剑林 | 2011-11-19 | 42971位读者 | 引用1798年法国数学家勒让德提出:
$$\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}$$
这个式子被成为“素数定理”(the Prime Number Theorem, PNT)。它表达的是什么意思呢?其中$\pi(N)$指的是不大于N的素数个数,$\frac{N}{\ln N}$是一个计算结果,符号~叫做“渐近趋于”,整个式子意思就是“不大于N的素数个数渐近趋于$\frac{N}{\ln N}$”;简单来讲,就是说$\frac{N}{\ln N}$是$\pi(N)$的一个近似估计。也许有的读者会问为什么不用≈而用~呢?事实上,~包含的意思还有:
$$\lim_{N-\infty} \frac{\pi(N) \ln N}{N}=1$$
[欧拉数学]素数倒数之和
By 苏剑林 | 2011-11-19 | 37656位读者 | 引用上一篇文章我通过欧拉数学的方式简单地讲了数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”。事实上,这把“金钥匙”与很多问题之间的联系已经被建立了起来,换句话说,“金钥匙”已经插入到了相应的“锁孔”中,数学家的工作就是要把这个金钥匙“拧动”,继而打开数学之门!
接下来我们看看如何证明所有素数的倒数之和发散的。在入正题之前,我们得需要看一个引理:
无限数列${a_n}$的每一项都大于0,那么$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$与$\prod\limits_{n=1}^{\infty} \left(1+a_n\right)$的敛散性相同。换句话说,两者互为充分必要条件!
[欧拉数学]黎曼ζ函数
By 苏剑林 | 2011-11-18 | 50000位读者 | 引用欧拉数学的魅力在于,它运用类比的方法,把各个看似毫无关联的领域联系了起来,生动而巧妙地得出了正确的结果。他对$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...=\frac{\pi^2}{6}$的计算便是一个典型的例子。虽然论证过程未必严谨,但是那“神奇”的推导已经令我们拍案叫绝,而且往往发人深思。这种效果通常是严格论证难以实现的,它不仅给予我们答案,而且还给予了我们启迪:新的思想,新的方向;有时,它还揭示了各个学科之间内在而深刻的联系。下面我们来观察一下数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”!
黎曼ζ函数指的是:
$$\xi (s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+...$$
本来s应该是一个实数,但是将复分析引入数论后,将s推广至复数具有更大的研究价值。
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