从费马大定理谈起(四):唯一分解整环
By 苏剑林 | 2014-08-17 | 43204位读者 | 引用在小学的时候,数学老师就教我们除法运算:
被除数 = 除数 × 商 + 余数
其中,余数要小于除数。不过,我们也许未曾想到过,这一运算的成立,几乎是自然数$\mathbb{N}$所有算术(数论)运算性质成立的基础!在代数中,上面的运算等式称为带余除法(division algorithm)。如果在一个整环中成立带余除法,那么该整环几乎就拥有了所有理想的性质,比如唯一分解性,也就是我们说的算术基本定理。这样的一个整环,被称为唯一分解整环(Unique factorization domain)。
欧几里得整环
唯一分解定理说的是在一个整环之中,所有的元素都可以分解为该整环的某些“素元素”之积,并且在不考虑元素相乘的顺序和相差单位数的意义之下,分解形式是唯一的。我们通常说的自然数就成立唯一分解定理,比如$60=2^2\times 3\times 5$,这种分解是唯一的,这看起来相当显然,但实际上唯一分解定理相当不显然。首先,并不是所有的整数环都成立唯一分解定理的,我们考虑所有偶数组成的环$2\mathbb{Z}$,要注意,在$2\mathbb{Z}$中,2、6、10、30都是素数,因为它们无法分解成两个偶数的乘积了,但是$60=6\times 10=2\times 30$,存在两种不同的分解,因此在这样的数环中,唯一分解定理就不成立了。
从费马大定理谈起(三):高斯整数
By 苏剑林 | 2014-08-16 | 46276位读者 | 引用为了拓展整数的概念,我们需要了解关于环和域这两个代数结构,这些知识在网上或者相应的抽象代数教程中都会有。抽象地提出这两个代数结构,是为了一般地处理不同的数环、数域中的性质。在自然数集$\mathbb{N}$中,可以很方便定义和比较两个数字的大小,并且任意一个自然数的子集,都存在最小元素,这两点综合起来,我们就说$\mathbb{N}$是“良序”的(这也是数学归纳法的基础)。在良序的结构中,很多性质的证明变得很简单,比如算术基本定理。然而,一般的数环、数域并没有这样的“良序”,比如任意两个复数就不能比较大小。因此,一般的、不基于良序的思想就显得更为重要了。
环和域
关于环(Ring)的定义,可以参考维基百科上面的“环(代数)”条目。简单来说,环指的是这样一个集合,它的元素之间可以进行加法和乘法,并满足一些必要的性质,比如运算封闭性、加法可交换性等。而数论中大多数情况下研究的是数环,它指的是集合是数集的情况,并且通常来说,元素间的加法和乘法就是普通的数的加法和乘法。比如所有的实整数就构成一个数环$\mathbb{Z}$,这个数环是无限的;所有的偶整数也构成一个数环$2\mathbb{Z}$;对于素数$p$,在模$p$之下,数集$\{0,1,2,\dots,p-1\}$也构成了一个环,更特别的,它还是一个数域。
从费马大定理谈起(二):勾股数
By 苏剑林 | 2014-08-15 | 27700位读者 | 引用费马大定理说的是$n > 2$的情况,但是我们可以从$n=2$出发,求解到勾股数组的一般表达式,并且从中得到证明费马大定理的原始思想。
互质解
我们在实整数,也就是$\mathbb{Z}$内求解。为了求解不定方程$x^2+y^2=z^2$,首先我们注意到,这是一道齐次方程,这告诉我们,如果存在某一组解,那么可以通过同除以公约数的方法,得到一组两两互质的解。换句话说,有解必有互质解,这是$x^n+y^n=z^n$的解的通性。那么,我们假设$(x,y,z)=(a,b,c)$ 是方程$x^2+y^2=z^2$的一个互质解。
从费马大定理谈起(一):背景简介
By 苏剑林 | 2014-08-15 | 26824位读者 | 引用费马大定理,也叫做费马最后定理(Fermat Last Theorem),说的是
设$n$是大于2的正整数,则不定方程$x^n+y^n=z^n$没有全不为0的整数解。
稍微阅读过数学史的朋友应该知道,该定理首先于1637年由法国业余数学家费马(Pierre de Fermat)在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时写在第11卷第8命题旁写道。他并附加道:“我发现了一个非常漂亮的证明,但这里没有足够的空间可容纳得下。”根据后世的考证,费马或许有办法证明n=3,4,5的情形,但不大可能给出一般性的证明,因为在20世纪90年代,怀尔斯用了130页的纸张,而且用到了复杂的现代理论,才完全证明了费马大定理。所以费马当时的这一断言,更可能只是一个归纳猜测。
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