地球引力场的悬链线方程
By 苏剑林 | 2011-05-15 | 58358位读者 |之前曾在《自然极值》系列文章中提到过均匀重力场下的悬链线形状问题,并且在那文章中向读者提出:在一个质点(地球)引力场中的悬链线形状会是怎么样的。说实话,提出这个问题的时候,我还不懂怎么解答这个问题,不过现在会了,回头一看,已经几个月了,时间过得真快...
与之前的思路一样,我们依旧采用的是“平衡态公理”,即总势能最小。从天体力学中我们知道,任意两个质点间的势能为$-\frac{Gm_1 m_2}{r}$。对于本题的悬链线问题,我们可以把地球放到坐标原点位置,而悬链的两个固定点分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$,链的总长度为l。即
$$\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{dx^2+dy^2}=l$$
设悬链的线密度为1(无量纲处理,长度即质量)。那么悬链上的点(x,y)到(x+dx,y+dy)一小段的引力势能可以记为
$$dE=-GM\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
总势能显然是$$E=-GM\int_{x_1}^{x_2} \frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
选取适当的坐标对被积函数进行化简是很必要的,我们采取极坐标系:
$$\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\sqrt{r^2 d\theta^2+dr^2}}{r}=\frac{\sqrt{r^2 \dot{\theta}^2+1}}{r}dr$$
其中$\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dr}$
于是$$E=-GM\int_{r_1}^{r_2} \frac{\sqrt{r^2 \dot{\theta}^2+1}}{r}dr=-GM\int_{r_1}^{r_2} F(\dot{\theta},r)dr$$
代入拉格朗日方程就得到(将r看成自变量,θ作为函数):
$$0=\frac{\partial F }{\partial \theta}=\frac{d}{dr}(\frac{\partial F }{\partial \dot{\theta}})=\frac{d}{dr}(\frac{r\dot{\theta}}{\sqrt{r^2 \dot{\theta}^2+1}})$$
于是积分得到$\frac{r\dot{\theta}}{\sqrt{r^2 \dot{\theta}^2+1}}=Const$
并且化简得到:$$r^2 \dot{\theta}^2=C_1^2 ( C_1 > 0 )$$
要求$C_1 > 0 $只是为了描述上的方便,即$\pm \dot{\theta}=\frac{C_1}{r} \Rightarrow C_2 \pm \theta=C_1 ln r$
我们约定,在$\theta=C_1 ln r-C_2 < 0$时,上面去负号,反之取正号,则可以写成:
$$C_2 + |\theta|=C_1 ln r$$
可以进一步化简成$r=Ae^{B|\theta|}$的形式。其形状如下图:
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May 15th, 2011
这个图像好奇怪啊
April 25th, 2014
"代入拉格朗日方程就得到"下面的公式的第二个等号应该是减号,后面计算就都有问题了。。。感觉上,悬链的形状不应该有那个尖点,应该是光滑曲线(至少有一阶连续导数)。
我当初也困惑了好久,为此我仔细检验过,但是没有错呀,拉格朗日方程是
$\frac{\partial F }{\partial \theta}=\frac{d}{dr}(\frac{\partial F }{\partial \dot{\theta}})$,但是我们有$\frac{\partial F }{\partial \theta}=0$,所以上面是没有计算错误的。
April 26th, 2014
我也没看出推导中的错误。图像还有一个明显的问题:悬链应该凸向引力中心才对。我英语不太好,你可以看看这篇文献:http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~hinz/catenaria.pdf
好,谢谢。我仔细阅读后再与您讨论。
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那篇文章的过程我看不太懂,不过结论和你的不太一样。。。。
我已经大概知道问题所在,但是我没有想到解决问题的思路。这个问题比较奇怪。过一段时间我会专门写写它
请问题主找到问题的根源了没
无
August 1st, 2014
这个曲线很像双曲线,也有两渐近线的 ,不是方程错了就是图画错了,用软件数值求解微分方程画图就行
这个问题我还在困惑着,极坐标下的测地线问题~~所以暂时先不做修改,等我理清了再说...
March 12th, 2020
可能这是极大值
August 23rd, 2023
是因为势能零点默认为无穷远处,而你又没有考虑绳长限制,求出来的积分是错的。应该加一个拉格朗日乘子到绳长积分上,再与势能相加,带人拉格朗日方程