《向量》系列——5.平面向量微分方程与复数
By 苏剑林 | 2010-10-03 | 20308位读者 |首先我们考虑一个复微分方程
$$\dot{z}=f(z,t)\tag{1}$$如果令$z=x+yi,f(z,t)=f(x+yi,t)=g(x,y,t)+i*h(x,y,t)$,则方程对应于
$$\begin{aligned}\dot{x}=g(x,y,t) \\ \dot{y}=h(x,y,t)\end{aligned}$$
这说明,二元微分方程在一定程度上等价于复微分方程。
我们可以先看一个例子,解方程组
$\dot{x}=x^2-y^2,\dot{y}=2xy$,初始值是$t=0,x=1,y=1$。
如果令$z=x+yi$,则方程事实上等价于$\dot{z}=z^2$,初始条件$t=0,z=1+i$。于是利用解一元微分方程的方法求得
$z=-\frac{1}{t+C}$,并且根据初始条件得到$C=1/2 (i-1)$,即
$$x+yi=z=-\frac{1}{t+1/2 (i-1)}=\frac{1/2-t}{(1/2-t)^2+(1/2)^2}+\frac{1/2 i}{(1/2-t)^2+(1/2)^2}$$
根据复数相等的原则,得到:
$$\begin{aligned}x=\frac{1/2-t}{(1/2-t)^2+(1/2)^2} \\ y=\frac{1/2}{(1/2-t)^2+(1/2)^2}\end{aligned}$$
可见,方法是很快捷的,这是一条把不熟悉变为熟悉的重要途径。将二元实微分方程转化为一元复微分方程的一个明显好处是消元,与其说这是不同形式的转换,倒不如说这是一种“消元法”。另外我们曾经讨论过复数与二维向量的等价性。因而,关于二维向量的微分方程,均可以将向量视为“数”(复数)来解答(只要向量方程中不涉及到“模”)。而解复微分方程在很大程序上和实微分方程相同。而我们在实际问题中提出的方程(特别是物理力学方面)有不少是理想的二维向量方程,既然向量等价于复数,用复微分方程的形式来解答,快捷方便,何乐而不为?
下面是运动学的一个实际应用:
一炮弹从地面以$v_0$速度、与地面成θ角射出,空气阻力是速度的q倍(q是常数),求炮弹的运动轨迹。
记炮弹质量为m,初速度为$\vec{v}_0$,重力加速度为$\vec{g}$,运动轨迹为$\vec{r}$,可以列得
$\ddot{\vec{r}}=-\frac{q}{m}\dot{\vec{r}}+\vec{g}$,令$-\frac{q}{m}=k$,则
$$\ddot{\vec{r}}=k\dot{\vec{r}}+\vec{g}$$
积分一次,并代入初始条件,得到
$$\dot{r}=k\vec{r}+\vec{g}t+\vec{v}_0$$
既然向量等价于复数,那么用将向量看成复函数,上式就是一个一阶微分方程,利用解一阶微分方程的知识得
$$\vec{r}=(\frac{\vec{g}}{k^2}+\frac{\vec{v}_0}{k})(e^{kt}-1)-\frac{\vec{g}t}{k}$$
设$\vec{r}=x+yi,\vec{g}=-gi,\vec{v}_0=v_0 cos\theta+i*v_0 sin\theta$(等价于将向量正交分解了),代入上式,根据复数相等的条件,得到
$$\begin{aligned}x=(\frac{v_0 \cos\theta}{k})(e^{kt}-1) \\ y=(\frac{v_0 \sin\theta}{k}-\frac{g}{k^2})(e^{kt}-1)+\frac{g t}{k} \\ k=q/m\end{aligned}$$
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