诡异的Dirac函数
By 苏剑林 | 2013-01-14 | 45650位读者 | 引用量子力学中有一个很诡异的函数——Dirac函数,它似乎在物理的不少领域都有很大作用,它也具有明显的物理意义,但认真地看它却又感觉它根本就不是函数!这个“似而非是”的东西究竟是什么呢?让我们从一个物理问题引入:
设想一条质量为1,长度为$2l$的均匀直线,很显然直线的密度为$\rho=\frac{1}{2l}$;将直线的中点放置于坐标轴的原点,我们就有
$$\rho(x)=\left\{ \begin{array}{c}\frac{1}{2l} (-l \leq x \leq l)\\0 (x < -l , x > l)\end{array}\right.$$
所以有
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x)dx=1$$
指数函数及其展开式孰大孰小?
By 苏剑林 | 2012-03-18 | 29393位读者 | 引用在x>0时,指数函数$f(x)=e^x$与幂函数$h_n (x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}$孰大孰小?
对于已经学习了微积分的朋友来说,这道题目是很简单的,甚至$f(x) > h_n (x)$可以说是“显然成立的”(因为$e^x$展开式接下来的无穷项都是正数)。但是,这道题目出在了2012年的广州一模理科数学中,就显得不那么简单了,得用初等的方法来证明它。而笔者最近养成了一个习惯,拿到一张数学试卷,不是先做选择题,而是先做最后一题。所以在参加广州一模时,先花了半个小时把最后一题(即本题)解决了。下面是我想到的三种解法。
一、数学归纳法
[欧拉数学]黎曼ζ函数
By 苏剑林 | 2011-11-18 | 50762位读者 | 引用欧拉数学的魅力在于,它运用类比的方法,把各个看似毫无关联的领域联系了起来,生动而巧妙地得出了正确的结果。他对$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...=\frac{\pi^2}{6}$的计算便是一个典型的例子。虽然论证过程未必严谨,但是那“神奇”的推导已经令我们拍案叫绝,而且往往发人深思。这种效果通常是严格论证难以实现的,它不仅给予我们答案,而且还给予了我们启迪:新的思想,新的方向;有时,它还揭示了各个学科之间内在而深刻的联系。下面我们来观察一下数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”!
黎曼ζ函数指的是:
$$\xi (s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+...$$
本来s应该是一个实数,但是将复分析引入数论后,将s推广至复数具有更大的研究价值。
一道比较函数大小的题目
By 苏剑林 | 2011-07-08 | 21254位读者 | 引用cos 1°的根式表达式
By 苏剑林 | 2011-06-26 | 58093位读者 | 引用BoJone记得自己第一次接触三角函数大概是小学五、六年级的时候,那时候我拿来了表姐的初中数学书来看。看到三角函数一章后,饶有兴致,希望能够找到一个根据角度来求三角函数值的方法,可是书本上只是教我去用计算器算和查表,这让我这个爱好计算的孩子大失所望。这个问题直到高一才得以解决,原来这已经涉及到了微积分中的泰勒级数了...
我记得为了求任意角度的三角函数值,我曾经根据30°、45°和60°的正弦值拟合过一条近似公式出来:
$$\sin A \approx \sqrt{\frac{A}{60}-1/4}$$
其中A以角度为单位,大致适用于25°~60°,精度好像有两位小数。当然,这个结果在今天看来是很粗糙的,但是这毕竟是我的“小学的作品”!在此留念一翻。
数值方法解方程之终极算法
By 苏剑林 | 2010-04-04 | 45008位读者 | 引用呵呵,做了一回标题党,可能说得夸张了一点。说是“终极算法”,主要是因为它可以任意提高精度、而且几乎可以应付任何非线性方程(至少理论上是这样),提高精度是已知的迭代式上添加一些项,而不是完全改变迭代式的形式,当然在提高精度的同时,计算量也会随之增大。其理论基础依旧是泰勒级数。
我们考虑方程$x=f(y)$,已知y求x是很容易的,但是已知x求y并不容易。我们考虑把y在$(x_0,y_0)$处展开成x的的泰勒级数。关键是求出y的n阶导数$\frac{d^n y}{dx^n}$。我们记$f^{(n)}(y)=\frac{d^n x}{dy^n}$,并且有
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(\frac{dx}{dy})}=f'(y)^{-1}$$
(原创)切抛物线法解方程
By 苏剑林 | 2010-03-06 | 32801位读者 | 引用牛顿法使用的是函数切线的方程的零点来逼近原函数的零点,他所使用的是“切直线”,要是改为同曲率的“切抛物线”,则有更稳定的收敛效果以及更快的收敛速度
设函数$y=f(x)$在$(x_0,y_0)$处有一条“切抛物线”$y=ax^2+bx+c$,则应该有
$a(x_0+\Delta x)^2+b(x_0+\Delta x)+c=f(x_0+\Delta x)$-------(A)
$ax_0^2+bx_0+c=f(x_0)$-------(B)
$a(x_0-\Delta x)^2+b(x_0-\Delta x)+c=f(x_0-\Delta x)$-------(C)
其中$lim_{\Delta x->0}$
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