“十字架”组合计数问题浅试
By 苏剑林 | 2022-10-09 | 13347位读者 | 引用思考:两个椭圆片能粘合成一个立体吗?
By 苏剑林 | 2019-07-21 | 49230位读者 | 引用几个有关集合势的“简单”证明
By 苏剑林 | 2014-10-01 | 69787位读者 | 引用我们这学期开设《实变函数》的课程,实变函数的第一章是集合。关于无穷集合的势,有很多异于直觉的结论。这些结论的证明技巧,正是集合论的核心方法。然而,我发现虽然很多结论跟我们的直觉相违背,但是仔细回想,它又没我们想象中那样“离谱”。而我们目前使用的教科书《实变函数论与泛函分析》(曹广福),却没有使用看来简单的证明,反而用一些相对复杂的定理,给人故弄玄虚的感觉。
一、全体实数不能跟全体正整数一一对应
这是集合论中的基本结论之一。证明很简单,如果全体实数可以跟全体正整数一一对应,那么$(0,1)$上的实数就可以跟全体正整数一一对应,把$(0,1)$上的全体实数表示为没有0做循环节的无限小数(比如0.1表示为0.0999...),那么设一种对应为:
$$\begin{aligned}&a_1=0.a_{11} a_{12} a_{13} a_{14}\dots\\
&a_2=0.a_{21} a_{22} a_{23} a_{24}\dots\\
&a_3=0.a_{31} a_{32} a_{33} a_{34}\dots\\
&\dots\dots
\end{aligned}$$
齐次多项式不等式的机器证明(差分代换)
By 苏剑林 | 2014-07-06 | 33971位读者 | 引用在高中阶段,笔者也像很多学生一样参加过数学竞赛,而在准备数学竞赛的过程中,也做过一些竞赛题,其中当然少不了不等式题目。当时,面对各种各样的不等式证明题,我总是非常茫然,因为看到答案之后,总感觉证明的构造非常神奇,但是每当我自己独立去做时,却总想不出来。于是后来就萌生了“有没有办法可以通用地证明这些不等式?”的想法。为了实现这个目的,当时就想出了本文的技巧——通过牺牲计算的简便性来换取证明的有效性。后来,我虽然没有走上数学竞赛这条路,但这个方法还是保留了下来,近日,在和数学研发论坛的朋友们讨论不等式问题时,重新拾起了这个技巧。
此前,在本博客的文章《对称多项式不等式的“物理证明”》中,已经谈到了这个技巧,只是限制于当时的知识储备,了解并不深入。而在本文中,则进行拓展了。这个技巧在当时是我自己在证明中独立发现的,而现在在网上查找时发现,前辈们(杨路、姚勇、杨学枝等)早已研究过这个技巧,称之为“差分代换”,并且已经探究过它在机器证明中的作用。该技巧可以很一般化地用于齐次/非其次不等式的证明,限于篇幅,本文只谈齐次多项式不等式,特别地,是对称齐次多项式不等式,并且发现某些可以简化之处。
关于e是无理数的证明
By 苏剑林 | 2009-10-17 | 34126位读者 | 引用正十七边形的尺规作图存在之证明
By 苏剑林 | 2009-09-20 | 43867位读者 | 引用一道从小学到高中都可能考到的题目
By 苏剑林 | 2009-09-20 | 30909位读者 | 引用几何-算术均值不等式的一般证明
By 苏剑林 | 2009-08-24 | 38693位读者 | 引用本证明是站长经过很长时间独立研究得出,望转载者要注明原作者和出处,否则定追究版权责任! (公式很多,推荐使用火狐浏览器)
关于这个不等式由来已久,从$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$开始,人们逐渐地发现,只要$a_1,a_2,...,a_n \geq 0$,那么就一定会有$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2...a_n}$。对于比较小的n,人们已经可以证明上式成立,但是,一般形式的证明则是近年来的事情。
我自己很早就接触到了这个不等式(好像是3年前,我读六年级),从那个时候开始,我就一直寻找这个不等式的证明,但是除了n=2的情况外,其余一直未果。直到三个月前的一节数学课,在发愣之余就想出来了(^_^)。一开始证明了n=3的情况,然后就势如破竹,证明了对于任何的n,这条不等式都成立。
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