一道从小学到高中都可能考到的题目
By 苏剑林 | 2009-09-20 | 34286位读者 |这是一道很多时候都会考到的题目:
比较$n^{n+1}$与$(n+1)^n$的大小(其中n非负)。
在小学我们会使用直接计算;
在初中我们会从一些例子找规律;
在高中我们就会直接去证明了。
这道题目的答案是:当n>e时,有$n^{n+1}>(n+1)^n$。
我给出的证明有两个:
证明一:
要证$n^{n+1}>(n+1)^n$,等价于证明$n>\frac{(n+1)^n}{n^n}=(1+1/n)^n$。
而在研究e的时候可以知道,对于非负的n,$(1+1/n)^n$是单调递增的;而$\lim_{x->+\infty}(1+1/n)^n=e$,所以$(1+1/n)^n < e$。因此当n>e时,$n>\frac{(n+1)^n}{n^n}=(1+1/n)^n$是成立的。证毕。
证明二:
这个证明相对通用一些,可以用来比较$n^{n+m}$与$(n+m)^n$等情况。现在只讨论m=1的情况。
函数$(\frac{ln x}{x})'=\frac{1-ln x}{x^2}$,当x>e时,$\frac{1-ln x}{x^2}<0$,即此时函数$\frac{ln x}{x}$单调递减。若有e $$\frac{ln a}{a}>\frac{ln b}{b}<\Rightarrow \frac{ln a}{ln b}>\frac{a}{b}$$
而当n>e时,
$$n^{n+1}=(n+1)^{(n+1)\cdot \frac{ln n}{ln(n+1)}}>(n+1)^{(n+1)\cdot \frac{n}{n+1}}=(n+1)^n$$
证毕。
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May 17th, 2010
求比值方便的多
May 2nd, 2011
证明一的最后一行,所以(1+1n)ne时,少了个=号
或者一个其他的什么...
修正了,谢谢指出!
May 19th, 2014
标题“到”字改成“都”