23、求解拟齐次方程$\frac{dy}{dx}=x+\frac{x^3}{y}$
24、求解拟齐次方程$\ddot{x}=x^5+x^2\dot{x}$

把这两道题目放在一起说是因为我觉得这两道题目本质上是一样的，当然，不管怎样，24题更复杂一些。在24题中，设$\dot{x}=y$，则$\ddot{x}=y\frac{dy}{dx}$，于是原方程就变成：
$$\frac{dy}{dx}=x^2+\frac{x^5}{y}$$
这样就跟23题的形式差不多了。

首先我们来解23题。我解微分方程时，一般都会先分析一下有没有$y=cx^n$形式的解，这种解通常来说都是最简单的。代进去可以得到：
$$cnx^{n-1}=x+\frac{1}{c}x^{3-n}$$
可以发现这样的解确实存在，让n-1=3-n得到n=2，接着就有$2c=1+\frac{1}{c}$，得出$c=1$或$c=-\frac{1}{2}$。这样我们得到了两个特解。

然而，这对我们并没有什么特别帮助。我做到这里之后也中断了好长一段时间，前两天在课堂上重新思考这个问题，得到了一种思路。方程左边是相除的形式，右边是相加的形式，为了进行分离变量，我打算把左边变为相乘的形式，即通过变换变成$f(x')f(y')$的形式，根据右边的特点，可以设一个新变量：
$$x=t y^k$$
代进去有$x+\frac{x^3}{y}=t y^k+t^3 y^{3k-1}$。为了进行同类项合并，让$k=3k-1$，解得$k=\frac{1}{2}$，即可以考虑变换$x=t\sqrt{y}$。此时$dx=\sqrt{y}dt+\frac{t}{2\sqrt{y}}dy$。原方程就可以变为：
$$\frac{dy}{\sqrt{y}dt+\frac{t}{2\sqrt{y}}dy}=(t+t^3)\sqrt{y}$$

要注意，直到现在我们都是在摸索，我也不知道最终能否成功。将它倒过来：
$$\sqrt{y}\times \frac{\sqrt{y}dt+\frac{t}{2\sqrt{y}}dy}{dy}=\frac{1}{t+t^3}$$

整理得：
$$y\frac{dt}{dy}=\frac{1}{t+t^3}-\frac{t}{2},\frac{dy}{y}=\frac{2t(1+t^2)dt}{2-t^2-t^4}=\frac{(1+t^2)d(t^2)}{2-t^2-t^4}$$

至此，我们成功分离了变量，说明我们当初的猜测很成功。而且这个积分不算难，积分的结果是：
$$\begin{eqnarray*}Const.+ln y=-\frac{1}{3}ln[(2+t^2)(t^2-1)^2] \\ y\sqrt[3]{(2+t^2)(t^2-1)^2}=Const.\end{eqnarray*}$$

代入$x=t\sqrt{y}$，得到
$$(2y+x^2)(x^2-y)^2=C$$

这就可以看作是最终答案了。当C=0时，就得到我们先前解出的两个特解。因此，我们已经成功了求解了23题。至于24题，也是类似的，答案是将会在另外一篇文章分析。

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苏剑林. (Sep. 26, 2013). 《数学基本技艺之23、24（上） 》[Blog post]. Retrieved from https://www.spaces.ac.cn/archives/2083

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        title={数学基本技艺之23、24（上）},
        author={苏剑林},
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