精确自由落体运动定律的讨论
By 苏剑林 | 2009-12-26 | 38858位读者 |在初中或高中,自由落体试验简单地用这个公式来描述出来:
$$s=1/2 g t^2$$
其中$g=9.8m//s^2$,等于1kg物体在地球表面所受的重力。
但是这个公式很明显有一个问题,就是实际上在地球,g不是恒定的,会随着距离(即海拔高度)的变化而变化,上述公式能够在一定范围内描述自然落体运动。但是当距离很大时,公式便失效了。例如以下问题:
一个希腊神话中提到一个天神的一块铁掉了,花了整整九天才到达地面,只考虑地球引力因素,计算“天的高度”。
这是国际天文竞赛中的一道题目,很显然不能用$s=1/2 g t^2$计算。经过查找资料,我发现了这一条公式:
$$t=\sqrt{\frac{r_0}{2GM}}{r_0 \cdot arctg \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}+\sqrt{r(r_0 -r)}}$$
它表示从距离场中心$r_0$时下落到距离场中心$r$时所需的时间。
可以证明,在$r_0$很接近$r$时,该公式近似于$s=1/2 g t^2$。
现在我们可以用新的公式来求解天文奥赛的那道题目了。
首先我们得有一个思想:实际上天文的理论都是比较复杂的,我们在平时应用的时候,要设法把它近似、简化,下面的计算中我们将会体现这个思想。
我们已经知道了$t=9*86400s$、$r=6.371*10^6 m$,求$r_0$。
我们可以粗略估计得到$r_0$定会比$r$大得很,于是$\sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}$必定很大,在这种情况之下我们可以认为$arctg \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}=\frac{\pi}{2}$。
同样,可以近似把$\sqrt{r(r_0 -r)}$写成$\sqrt{r r_0}$。变为:
$t=sqrt{\frac{r_0}{2GM}} [\frac{\pi r_0}{2}+\sqrt{r r_0}]$,并且有$GM=R^2 g$。 令$\sqrt{r_0}=x$,有
$$2rt\sqrt{2g}=\pi x^3+2\sqrt{r} x^2$$
如果忽略$2\sqrt{r} x^2$,则可以解得:$x=24525,r_0=6*10^5km$
如果当$2\sqrt{r} x^2=x^3$,则可以解得:$x=22367,r_0=5*10^5km$
官方给出的答案为51万km。
当然,这不是官方的解法,我们也不用特意掌握这种解法。这里只提供一个思路和方法给研究天体物理学的朋友们!
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苏剑林. (Dec. 26, 2009). 《精确自由落体运动定律的讨论 》[Blog post]. Retrieved from https://www.spaces.ac.cn/archives/330
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February 18th, 2010
g也跟纬度度有关系的。
奥赛题是把物体对地球的旋转(所产生的向心力)这个因素忽略掉。
纬度这只是因为地球是不均匀球体而已。但是这个因素影响很小,而且一般都是把地球看做理想球体,所以忽略掉了。对于宇宙航行来说,海拔高度才是最不可忽略的。
其实这个是二体问题的最简单的一个解,其实这里还有一点需要修正:其中的M应该用(M+m)来替代,m是自由落体的物体质量。
February 19th, 2010
不说奥赛题。地球上的物体所受的重力是万有引力的一个分力啊。也就是说,物体受到的万有引力分解成绕地球转动的向心力(跟维度和高度有关)和重力两个分力。
一般人容易把重力等同于万有引力本身。
我懂你的意思了。你是说地球本身是一个非惯性系,所以重力不等价于引力。我们在地球上与地球一起运动,这个运动可以近似看成匀速圆周运动。我们作匀速圆周运动需要向心力,在地球上,这个力由万有引力的一个指向地轴的一个分力提供,而万有引力的另一个分力就是我们平时所说的重力了。
但估计这个影响也是不大吧?因为理论的g和实际相差无几啊!
February 20th, 2010
嗯,我的意思就是这样。
g由于维度的差异所造成的差别不是很大,小数点的问题,主要是概念上对重力的理解的问题。
另外,这里不需要引入“非惯性系”这个概念的啊。
November 29th, 2024
这是一道非常经典的运动学问题,解答思路也很简单。我不太认同博主的解法,甚至认为那是歧路。
s=(g*t^2)/2,其中 g 是重力加速度,是与 s 相关的量。重力加速度 g 实际上是位移关于时间的二阶导函数,即 g=(d^2s)/(dt^2)。
简单的改写成二阶微分方程形式即可,即为 2s/(t^2)=(d^2s)/(dt^2)。
求解该二阶微分方程,再结合初始条件即可得到精确解。
还有你使用的那个公式“t=*r*r0*”用在这个场合里不太正确。
回复日期2024_11_29