关于a,b的极限证明题目
By 苏剑林 | 2009-08-24 | 26185位读者 |证明下列极限:
$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{3/x}=ab\sqrt{ab}$$
解:
这是我认为比较难的极限题目之一,由麦克劳林公式可以推出:
$$a^x=1+x \ln a+\frac{x^2 \ln^2 a}{2!}+\frac{x^3 \ln^3 a}{3!}+...$$
于是原式可以变成
$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{2+x \ln a+\frac{x^2 \ln^2 a}{2!}+...+x \ln b+\frac{x^2 \ln^2 b}{2!}+...}{2}\right)^{3/x}$$
我们有一个简单的极限:$\lim\limits_{x\to 0}(a+x^2)^{1/x}=a^{1/x}$,因此,在上式中,$\frac{x^2 \ln^2 a}{2!}$及其后面的项可以忽略,只考虑
$$\begin{aligned}
&\,\lim_{x \to 0}\left(\frac{2+x \ln a+x \ln b}{2}\right)^{3/x}\\
=&\,\lim_{x \to 0} \left\{\left[1+\left(\frac{\ln a+\ln b}{2}\right)x\right]^{1/x}\right\}^3\\
=&\,e^{\frac{3(\ln a+ \ln b)}{2}}\\
=&\,(ab)^{3/2}\\
=&\,ab\sqrt{ab}
\end{aligned}$$
同理,有
$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{a_1^x+a_2^x+...+a_n^x}{n}\right)^{1/x}=\sqrt[n]{a_1 a_2...a_n}$$
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苏剑林. (Aug. 24, 2009). 《关于a,b的极限证明题目 》[Blog post]. Retrieved from https://www.spaces.ac.cn/archives/95
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August 5th, 2015
现在站长,应该可以看出答案吧,感觉自己有进步,是不是特开心,龇牙。
March 14th, 2024
GPT 的答案略作修改
为了计算这个极限 $\lim_{x \to 0} \left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{3}{x}}$,我们可以利用极限的性质以及一些特殊极限。特别是,我们可以用到指数函数的连续性和指数函数的极限性质。
首先,我们可以将原表达式写为:
$$
\lim_{x \to 0} \left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{3}{x}} = \lim_{x \to 0} \left(\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}\right)^3
$$
我们看到这个极限的内部基本形式是 $f(x)^{\frac{1}{x}}$,其中 $f(x) \to f(0)$ 当 $x \to 0$。这提示我们使用 e 的指数极限 $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$ 作为解决问题的工具。这是因为我们可以重写内部的极限为 $e$ 的幂。
现在的目标是将 $\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$ 的极限导入到这个特殊的形式中。为了实现这一点,我们将上述表达式转换成以下形式:
$$
\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \exp\left(\frac{1}{x} \cdot \ln\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)\right)
$$
我们知道 $\exp$ 和 $\ln$ 是相互的逆函数,所以我们可以关注于内部的极限 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \ln\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)$ 并使用洛必达法则处理这个不定形式(0/0类型)。
我们首先计算分子和分母的导数:
分子的导数:$\frac{d}{dx} \ln\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)$
分母的导数:$\frac{d}{dx} x = 1$
接下来,我们计算分子的导数:
$$
\frac{d}{dx} \ln\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right) = \frac{1}{\frac{a^x + b^x}{2}} \cdot \left(\frac{d}{dx} \frac{a^x + b^x}{2}\right)
$$
现在我们应用指数函数的导数规则 $d(a^x)/dx = a^x \ln(a)$ 和 $d(b^x)/dx = b^x \ln(b)$:
$$
\frac{d}{dx} \ln\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right) = \frac{2(a^x \ln(a) + b^x \ln(b))}{a^x + b^x}
$$
现在,我们应用洛必达法则,考虑分子和分母的导数:
$$
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \ln\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{a^x \ln(a) + b^x \ln(b)}{a^x + b^x}
$$
当 $x \to 0$,$a^x \to 1$ 和 $b^x \to 1$,因此上式的极限变为:
$$
\frac{\ln(a) + \ln(b)}{2}
$$
由于对数的性质,$\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$,所以上面的极限可以进一步简化为 $\ln(ab)/2$。
现在我们有了内部极限的结果,我们可以写出原始极限的结果:
$$
\lim_{x \to 0} \left(\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}\right)^3 = \exp(\ln(ab)/2)^3 = (ab)^{\frac{3}{2}}
$$
因此,当 $x \to 0$ 时,$\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{3}{x}}$ 的极限是 $(ab)^{\frac{3}{2}}$。
prompt """请问 当 x -> 0 的时候, ((a^x+b^x) / 2 )^(3/x) 的极限是多少? 请尝试一步一步地给出结论"""
GPT能做到这个程度,感觉相当不错了