不确定性原理的矩阵形式
By 苏剑林 | 2014-01-05 | 40737位读者 |作为量子理论的一个重要定理,不确定性原理总是伴随着物理意义出现的,但是从数学的角度来讲,把不确定性原理的数学形式抽象出来,有助于我们发现更多领域的“不确定性原理”。
本文中,我们将谈及不确定性原理的n维矩阵形式。首先需要解释给大家的是,不确定性原理其实是关于“两个厄密算符与一个单位向量之间的一条不等式”。在量子力学中,厄密算符对应着无穷维的厄密矩阵;而所谓厄密矩阵,就是一个矩阵同时取共轭和转置之后,等于它自身。但是本文讨论一个更简单的情况,那就是n维实矩阵,n维实矩阵中的厄密矩阵就是我们所说的实对称矩阵了。
设$\boldsymbol{x}$是一个$n$维单位向量,即$|\boldsymbol{x}|=1$,而$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是n阶实对称矩阵。在量子力学中,$\boldsymbol{x}$就是波函数,但是在这里,它只不过是一个单位实向量;并记$\boldsymbol{I}$是$n$阶单位阵。
考虑
$$\bar{A}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\bar{B}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}$$
从这些记号可以看出,这些量对应着可观测量的期望值。当然,如果不懂量子力学,可以只看上面的矩阵形式。
然后我们再考虑
$$\begin{aligned} &\left(\Delta A\right)^2=\boldsymbol{x}^{T}\left( \boldsymbol{A}-\bar{A}\boldsymbol{I} \right)^2 \boldsymbol{x}\\
&\left(\Delta B\right)^2=\boldsymbol{x}^{T}\left( \boldsymbol{B}-\bar{B}\boldsymbol{I} \right)^2 \boldsymbol{x}
\end{aligned}$$
由于$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是$n$阶实对称矩阵,那么自然有
$$\begin{aligned} &\left(\Delta A\right)^2=\left| \left( \boldsymbol{A}-\bar{A}\boldsymbol{I} \right)\boldsymbol{x}\right|^2\\
&\left(\Delta B\right)^2=\left| \left( \boldsymbol{B}-\bar{B}\boldsymbol{I} \right)\boldsymbol{x}\right|^2
\end{aligned}$$
利用施瓦兹-柯西不等式,我们有
$$\begin{aligned}
\left(\Delta A\right)^2\left(\Delta B\right)^2 &=\left| \left( \boldsymbol{A}-\bar{A}\boldsymbol{I} \right)\boldsymbol{x}\right|^2\left| \left( \boldsymbol{B}-\bar{B}\boldsymbol{I} \right)\boldsymbol{x}\right|^2\\
&\geq \left| \boldsymbol{x}^{T} \left( \boldsymbol{A}-\bar{A}\boldsymbol{I} \right)\left( \boldsymbol{B}-\bar{B}\boldsymbol{I} \right) \boldsymbol{x} \right|^2\\
&=\left| \boldsymbol{x}^{T} \left( \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right)\boldsymbol{x}-\left(\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} \right)\left(\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}\right)\right|^2
\end{aligned}$$
同样可以证明
$$\begin{aligned}
\left(\Delta A\right)^2\left(\Delta B\right)^2 \geq \left|\left( \boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\right)\left(\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}\right)-\boldsymbol{x}^{T} \left( \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right)\boldsymbol{x} \right|^2
\end{aligned}$$
所以
$$\begin{aligned}
&\left(\Delta A\right)^2\left(\Delta B\right)^2 \\
\geq &\frac{1}{2}\left| \boldsymbol{x}^{T} \left( \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right)\boldsymbol{x}-\left(\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} \right)\left(\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}\right)\right|^2\\
&+\frac{1}{2}\left|\left( \boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\right)\left(\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}\right)-\boldsymbol{x}^{T} \left( \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right)\boldsymbol{x} \right|^2\\
\geq &\frac{1}{4}\left| \boldsymbol{x}^{T} \left( \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right)\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{T} \left( \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right)\boldsymbol{x} \right|^2\\
=&\frac{1}{4}\left| \boldsymbol{x}^{T} \left( [\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}]\right)\boldsymbol{x}\right|^2
\end{aligned}$$
其中
$$[\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}]=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$$
称为换位子、对易式等。以后我们会经常见到这个式子。这里的对易式定义与量子力学中的定义有一点不同。
最后我们就得出了关于两个实对称矩阵和一个单位向量的不等式了。
$$\begin{aligned}
\left(\Delta A\right)\left(\Delta B\right) \geq \frac{1}{2}\left| \boldsymbol{x}^{T} \left( [\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}]\right)\boldsymbol{x}\right|
\end{aligned}$$
只要两个向量是不对易的,那么该不等式就告诉了我们一个“不确定性原理”。量子力学做的,是使用了推广到复数域以及无穷维的类似上式的不等式,并赋予其统计意义。
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July 16th, 2015
站主造量子力学中为什么用算符定义物理量么?
June 22nd, 2019
不对(ΔA)^2(ΔB)^2≥1/4~
ΔAΔB应该≥1/2~去平方
是的,已经修正,感谢指正。
假定an,bn为本征值(离散),xn为本征向量,
则Axn=anxn,于是xnTAxn=an|xn|^2,那么期望应该是∑an|xn|^2。波函数并不满足|x|^2=1,而应该是∑|xn|^2=1.它有一族本征向量。
波函数的模方代表概率。
站主可以了解一下帕赛瓦尔恒等式,这个东西也很重要。
我整理了我的想法,要得到不确定关系,还必须有归一化条件,体现在最后一步。
先不管背景和物理含义,我只是说本文的推导在本文的假设下是成立的。